é uma função racional. Sugestão: comece considerando monômios, isto é, séries da forma . Para essas inspire-se no exercício 12.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a função é uma função racional, onde é um polinômio. Vamos usar conhecimentos de séries geradoras e funções racionais para resolver isso. Vamos precisar entender como manipular séries de potências e usar a linearidade das séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que nosso polinômio pode ser escrito como uma soma de termos individuais:
Isso significa que a série pode ser dividida em várias séries menores:
Passo 3
Agora, precisamos saber que tipo de função cada uma dessas séries resulta. Sabemos que:
E para termos envolvendo , como , existe uma fórmula conhecida que também resulta em uma função racional:
De maneira similar, para , , etc., cada série pode ser expressa como funções racionais envolvendo , onde depende do expoente de .
Passo 4
Como cada termo resulta em uma função racional, e é uma combinação linear desses termos multiplicados pelos coeficientes , isso significa que também será uma soma de funções racionais. E a soma de funções racionais é, por si só, uma função racional. Portanto, é uma função racional.
Passo 5
Resumindo, ao decompor o polinômio em termos de e usar a propriedade de que cada série é racional, concluímos que a função também é racional.