Seja um polinômio e considere a sequência . Então
é uma função racional. Sugestão: comece considerando monômios, isto é, séries da forma . Para essas inspire-se no exercício 12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a função é uma função racional, onde é um polinômio. Vamos usar conhecimentos de séries geradoras e funções racionais para resolver isso. Vamos precisar entender como manipular séries de potências e usar a linearidade das séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que nosso polinômio pode ser escrito como uma soma de termos individuais:
Isso significa que a série pode ser dividida em várias séries menores:

Passo 3

Agora, precisamos saber que tipo de função cada uma dessas séries resulta. Sabemos que:
ééé
E para termos envolvendo , como , existe uma fórmula conhecida que também resulta em uma função racional:
De maneira similar, para , , etc., cada série pode ser expressa como funções racionais envolvendo , onde depende do expoente de .

Passo 4

Como cada termo resulta em uma função racional, e é uma combinação linear desses termos multiplicados pelos coeficientes , isso significa que também será uma soma de funções racionais. E a soma de funções racionais é, por si só, uma função racional. Portanto, é uma função racional.

Passo 5

Resumindo, ao decompor o polinômio em termos de e usar a propriedade de que cada série é racional, concluímos que a função também é racional.

Resposta

A função é uma função racional.

Exercícios relacionados

Aqui vamos considerar o produto de séries. Suponha que e são duas séries absolutamente convergentes, de somas e respectivamente. Defina por
e considere a série . O objetivo é mostrar que .
(i) Dado mostre que é possível encontrar tal que, se então valem simultaneamente:
(ii) Olhe para
Já temos que . O problema está em majorar a parcela
Pense no seguinte diagrama: represente os pelos pontos , os pelos pontos e os pelos pontos . A idéia é que as somas parciais nos dão regiões triangulares (mais precisamente, olhe para o triângulo de vértices e , ao passo que o produto das somas parciais nos fornece uma região retangular (mais precisamente, olhe para o retângulo de vértices e ). Com isso em mãos conclua que
e obtenha
Finalmente fique com
Isto feito para séries numéricas, deduza (Proposição 2.7).
Mostre que as séries e divergem.
Calcule as seguintes integrais:
0 valor do limite vale:
a) 0
b)
c)
d)
e)