Seja
um polinômio e considere a sequência
. Então
é uma função racional. Sugestão: comece considerando monômios, isto é, séries da forma
. Para essas inspire-se no exercício 12.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a função
é uma função racional, onde
é um polinômio. Vamos usar conhecimentos de séries geradoras e funções racionais para resolver isso. Vamos precisar entender como manipular séries de potências e usar a linearidade das séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que nosso polinômio
pode ser escrito como uma soma de termos individuais:
Isso significa que a série
pode ser dividida em várias séries menores:
Passo 3
Agora, precisamos saber que tipo de função cada uma dessas séries resulta. Sabemos que:
E para termos envolvendo
, como
, existe uma fórmula conhecida que também resulta em uma função racional:
De maneira similar, para
,
, etc., cada série pode ser expressa como funções racionais envolvendo
, onde
depende do expoente de
.
Passo 4
Como cada termo
resulta em uma função racional, e
é uma combinação linear desses termos multiplicados pelos coeficientes
, isso significa que
também será uma soma de funções racionais. E a soma de funções racionais é, por si só, uma função racional. Portanto,
é uma função racional.
Passo 5
Resumindo, ao decompor o polinômio
em termos de
e usar a propriedade de que cada série
é racional, concluímos que a função
também é racional.
Resposta
A função
é uma função racional.