Seja P(t)=a0+a1 t+cdots+ak t^k um polinômio e considere a sequência (P(n)), n >= 0. Então
f(z)=sumn=0^infty P(n) z^n
é uma função racional. Sugestão: comece considerando monômios, isto é, séries da forma sumn=0^infty n^k z^n. Para essas inspire-se no exercício 12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a função é uma função racional, onde é um polinômio. Vamos usar conhecimentos de séries geradoras e funções racionais para resolver isso. Vamos precisar entender como manipular séries de potências e usar a linearidade das séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que nosso polinômio P(n) = a0 + a1 n + a2 n^2 + cdots + ak n^k pode ser escrito como uma soma de termos individuais:
f(z) = a0 sumn=0^infty z^n + a1 sumn=0^infty n z^n + cdots + ak sumn=0^infty n^k z^n
Isso significa que a série pode ser dividida em várias séries menores:

Passo 3

Agora, precisamos saber que tipo de função cada uma dessas séries resulta. Sabemos que:
sumn=0^infty z^n = 11 - z (essa é a série >=ométrica) ééé
E para termos envolvendo sumn=0^infty n z^n = z(1 - z)^2 , como , existe uma fórmula conhecida que também resulta em uma função racional:
De maneira similar, para , , etc., cada série pode ser expressa como funções racionais envolvendo , onde depende do expoente de .

Passo 4

Como cada termo resulta em uma função racional, e é uma combinação linear desses termos multiplicados pelos coeficientes , isso significa que também será uma soma de funções racionais. E a soma de funções racionais é, por si só, uma função racional. Portanto, é uma função racional.

Passo 5

Resumindo, ao decompor o polinômio em termos de e usar a propriedade de que cada série é racional, concluímos que a função também é racional.

Resposta

A função é uma função racional.

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