Calcule as seguintes integrais: integral0^pi6 t cdot sen 2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^pi6 t cdot sen 2 t , dt. Esse exercício está no tema de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Geralmente, escolhemos u para ser uma função que simplifica ao derivarmos, e dv para ser o restante.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
  • u = t (porque a derivada de t é simples)
  • dv = sen 2t , dt
Agora, precisamos encontrar du e v:
  • Derivando u, temos du = dt
  • Integrando dv, temos:
v = integral sen 2t , dt = -12 cos 2t

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^pi6 t cdot sen 2t , dt = u cdot v |0^pi6 - integral0^pi6 v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= t cdot (-12 cos 2t) |0^pi6 - integral0^pi6 (-12 cos 2t) cdot dt

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a parte de uv nos limites:
-t2 cos 2t |0^pi6 = -pi62 cos (2 cdot pi6) + 02 cos(0) = -pi12 cos (pi3) + 0
Sabemos que cos pi3 = 12, então:
= -pi12 cdot 12 = -pi24

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral restante:
-integral0^pi6 (-12 cos 2t) , dt = 12 integral0^pi6 cos 2t , dt
Integrando cos 2t:
integral cos 2t , dt = 12 sen 2t
Então:
12 12 sen 2t |0^pi6 = 14 ( sen (pi3) - sen(0) )
Sabemos que sen pi3 = raiz32 e sen(0) = 0, então:
= 14 cdot raiz32 = raiz38

Resposta

Juntando todas as partes, a integral vale:
-pi24 + raiz38

Exercícios relacionados