Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está no tema de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos para ser uma função que simplifica ao derivarmos, e para ser o restante.
Passo 3
No nosso caso, vamos escolher:
(porque a derivada de é simples)
Agora, precisamos encontrar e :
Derivando , temos
Integrando , temos:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a parte de uv nos limites:
-t2 cos 2t |0^pi6 = -pi62 cos (2 cdot pi6) + 02 cos(0) = -pi12 cos (pi3) + 0
Sabemos que cos pi3 = 12, então:
= -pi12 cdot 12 = -pi24
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral restante:
-integral0^pi6 (-12 cos 2t) , dt = 12 integral0^pi6 cos 2t , dt