Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está no tema de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos para ser uma função que simplifica ao derivarmos, e para ser o restante.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
  • (porque a derivada de é simples)
Agora, precisamos encontrar e :
  • Derivando , temos
  • Integrando , temos:

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a parte de nos limites:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral restante:
Integrando :
Então:
Sabemos que e , então:

Resposta

Juntando todas as partes, a integral vale:

Exercícios relacionados

Seja um polinômio e considere a sequência . Então
é uma função racional. Sugestão: comece considerando monômios, isto é, séries da forma . Para essas inspire-se no exercício 12.
Aqui vamos considerar o produto de séries. Suponha que e são duas séries absolutamente convergentes, de somas e respectivamente. Defina por
e considere a série . O objetivo é mostrar que .
(i) Dado mostre que é possível encontrar tal que, se então valem simultaneamente:
(ii) Olhe para
Já temos que . O problema está em majorar a parcela
Pense no seguinte diagrama: represente os pelos pontos , os pelos pontos e os pelos pontos . A idéia é que as somas parciais nos dão regiões triangulares (mais precisamente, olhe para o triângulo de vértices e , ao passo que o produto das somas parciais nos fornece uma região retangular (mais precisamente, olhe para o retângulo de vértices e ). Com isso em mãos conclua que
e obtenha
Finalmente fique com
Isto feito para séries numéricas, deduza (Proposição 2.7).
0 valor do limite vale:
a) 0
b)
c)
d)
e)
Determine a área da região do plano definida por