Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries:
O objetivo é mostrar que ambas as séries divergem. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência que aprendemos em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série . Note que é a unidade imaginária, onde . Podemos reescrever o termo geral da série:
Então, a série fica:
(Observação: começamos a somar de porque resultaria em uma divisão por zero, que não é permitida.)
Passo 3
Agora, observe que é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge. A série que temos é apenas a série harmônica multiplicada por :
Multiplicar pelos números complexos não afeta a convergência da série, apenas altera a direção no plano complexo. Portanto, se a série harmônica diverge, nossa série também diverge.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda série: . Assim como antes, evitamos para não termos uma divisão por zero. Então, consideramos:
Para entender o comportamento dessa série, vamos comparar com a série harmônica. À medida que fica grande, se comporta aproximadamente como , pois o termo se torna negligenciável. Portanto, o termo geral se assemelha a .
Passo 5
Usando o Teste da Comparação, sabemos que se diverge e é comparável a para grandes , então nossa série também deve divergir.