Mostre que as séries sumn=0^infty 1n i e sumn=0^infty 1n+i divergem.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries:
O objetivo é mostrar que ambas as séries divergem. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência que aprendemos em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série 1n i = -in . Note que sumn=1^infty -in é a unidade imaginária, onde . Podemos reescrever o termo geral da série:
Então, a série fica:
(Observação: começamos a somar de porque resultaria em uma divisão por zero, que não é permitida.)

Passo 3

Agora, observe que -i1 - i2 - i3 - dots é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge. A série que temos é apenas a série harmônica multiplicada por :
Multiplicar pelos números complexos não afeta a convergência da série, apenas altera a direção no plano complexo. Portanto, se a série harmônica diverge, nossa série também diverge.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda série: sumn=1^infty 1n + i . Assim como antes, evitamos para não termos uma divisão por zero. Então, consideramos:
Para entender o comportamento dessa série, vamos comparar com a série harmônica. À medida que fica grande, se comporta aproximadamente como , pois o termo se torna negligenciável. Portanto, o termo geral se assemelha a .

Passo 5

Usando o Teste da Comparação, sabemos que se diverge e é comparável a para grandes , então nossa série também deve divergir.

Resposta

Portanto, ambas as séries e divergem.

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