Mostre que as séries
e
divergem.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries:
O objetivo é mostrar que ambas as séries divergem. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência que aprendemos em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série
. Note que
é a unidade imaginária, onde
. Podemos reescrever o termo geral da série:
Então, a série fica:
(Observação: começamos a somar de
porque
resultaria em uma divisão por zero, que não é permitida.)
Passo 3
Agora, observe que
é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge. A série que temos é apenas a série harmônica multiplicada por
:
Multiplicar pelos números complexos não afeta a convergência da série, apenas altera a direção no plano complexo. Portanto, se a série harmônica diverge, nossa série
também diverge.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda série:
. Assim como antes, evitamos
para não termos uma divisão por zero. Então, consideramos:
Para entender o comportamento dessa série, vamos comparar com a série harmônica. À medida que
fica grande,
se comporta aproximadamente como
, pois o termo
se torna negligenciável. Portanto, o termo geral
se assemelha a
.
Passo 5
Usando o Teste da Comparação, sabemos que se
diverge e
é comparável a
para grandes
, então nossa série
também deve divergir.
Resposta
Portanto, ambas as séries
e
divergem.