Mostre que as séries e divergem.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries:
O objetivo é mostrar que ambas as séries divergem. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência que aprendemos em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série . Note que é a unidade imaginária, onde . Podemos reescrever o termo geral da série:
Então, a série fica:
(Observação: começamos a somar de porque resultaria em uma divisão por zero, que não é permitida.)

Passo 3

Agora, observe que é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge. A série que temos é apenas a série harmônica multiplicada por :
Multiplicar pelos números complexos não afeta a convergência da série, apenas altera a direção no plano complexo. Portanto, se a série harmônica diverge, nossa série também diverge.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda série: . Assim como antes, evitamos para não termos uma divisão por zero. Então, consideramos:
Para entender o comportamento dessa série, vamos comparar com a série harmônica. À medida que fica grande, se comporta aproximadamente como , pois o termo se torna negligenciável. Portanto, o termo geral se assemelha a .

Passo 5

Usando o Teste da Comparação, sabemos que se diverge e é comparável a para grandes , então nossa série também deve divergir.

Resposta

Portanto, ambas as séries e divergem.

Exercícios relacionados

Mostre que
Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função , definida por , cujo domínio é tal que .
Aqui vamos considerar o produto de séries. Suponha que e são duas séries absolutamente convergentes, de somas e respectivamente. Defina por
e considere a série . O objetivo é mostrar que .
(i) Dado mostre que é possível encontrar tal que, se então valem simultaneamente:
(ii) Olhe para
Já temos que . O problema está em majorar a parcela
Pense no seguinte diagrama: represente os pelos pontos , os pelos pontos e os pelos pontos . A idéia é que as somas parciais nos dão regiões triangulares (mais precisamente, olhe para o triângulo de vértices e , ao passo que o produto das somas parciais nos fornece uma região retangular (mais precisamente, olhe para o retângulo de vértices e ). Com isso em mãos conclua que
e obtenha
Finalmente fique com
Isto feito para séries numéricas, deduza (Proposição 2.7).
Seja um polinômio e considere a sequência . Então
é uma função racional. Sugestão: comece considerando monômios, isto é, séries da forma . Para essas inspire-se no exercício 12.