Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa provar que várias somas infinitas envolvendo potências de e são iguais a certas frações com no denominador. Isso tá ligado ao estudo de séries de potências e funções geradoras. Para resolver isso, vamos precisar entender a série geométrica básica e como derivar essa série para obter as somas com , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
Isso significa que a soma de de até o infinito é igual a .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a soma de . Vamos separar isso em duas partes:
Já sabemos que . Para a parte com , vamos derivar a série geométrica.

Passo 4

Derivando a série geométrica em relação a :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, voltando à nossa soma inicial:
Portanto, mostramos que:

Passo 6

Vamos passar para a soma . Notamos que isso já calculamos no Passo 4:
Como o termo é zero, podemos escrever:

Passo 7

Agora, vamos para . Para isso, vamos derivar novamente a expressão que obtivemos para :
Primeira derivada:
Multiplicando por :

Passo 8

Para a soma , vamos derivar novamente:
Derivando :
Multiplicando por :

Passo 9

Finalmente, para , vamos mais uma vez derivar a expressão anterior:
Derivando :
Simplificando:

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados

Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função , definida por , cujo domínio é tal que .
(i) Suponha que . Existe o limite ?
(ii) Suponha que . Mostre que, se a sequência é limitada, então .
Mostre que as séries e divergem.
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e considere a série . O objetivo é mostrar que .
(i) Dado mostre que é possível encontrar tal que, se então valem simultaneamente:
(ii) Olhe para
Já temos que . O problema está em majorar a parcela
Pense no seguinte diagrama: represente os pelos pontos , os pelos pontos e os pelos pontos . A idéia é que as somas parciais nos dão regiões triangulares (mais precisamente, olhe para o triângulo de vértices e , ao passo que o produto das somas parciais nos fornece uma região retangular (mais precisamente, olhe para o retângulo de vértices e ). Com isso em mãos conclua que
e obtenha
Finalmente fique com
Isto feito para séries numéricas, deduza (Proposição 2.7).