Mostre que
& sumn=0^infty(n+1) z^n=1(1-z)^2 & sumn=1^infty n z^n=z(1-z)^2, sumn=1^infty n^2 z^n=z+z^2(1-z)^3 & sumn=1^infty n^3 z^n=z+4 z^2+z^3(1-z)^4, sumn=1^infty n^4 z^n=z+11 z^2+11 z^3+z^4(1-z)^5

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa provar que várias somas infinitas envolvendo potências de e são iguais a certas frações com no denominador. Isso tá ligado ao estudo de séries de potências e funções geradoras. Para resolver isso, vamos precisar entender a série geométrica básica e como derivar essa série para obter as somas com , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
sumn=0^infty z^n = 11 - z, para |z| < 1
Isso significa que a soma de de até o infinito é igual a .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a soma de sumn=0^infty (n + 1) z^n = sumn=0^infty z^n + sumn=0^infty n z^n . Vamos separar isso em duas partes:
Já sabemos que . Para a parte com , vamos derivar a série geométrica.

Passo 4

Derivando a série geométrica em relação a ddz ( sumn=0^infty z^n ) = sumn=0^infty n z^n-1 = 1(1 - z)^2 :
sumn=0^infty n z^n = z(1 - z)^2
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, voltando à nossa soma inicial:
sumn=0^infty (n + 1) z^n = 11 - z + z(1 - z)^2 = 1(1 - z)^2
Portanto, mostramos que:
sumn=0^infty (n + 1) z^n = 1(1 - z)^2

Passo 6

Vamos passar para a soma sumn=0^infty n z^n = z(1 - z)^2 . Notamos que isso já calculamos no Passo 4:
sumn=1^infty n z^n = z(1 - z)^2
Como o termo é zero, podemos escrever:

Passo 7

Agora, vamos para ddz ( z(1 - z)^2 ) = (1 - z)^2 cdot 1 - z cdot 2(1 - z)(-1)(1 - z)^4 = 1 - z + 2z(1 - z)^3 = 1 + z(1 - z)^3 . Para isso, vamos derivar novamente a expressão que obtivemos para sumn=1^infty n^2 z^n = z(1 + z)(1 - z)^3 = z + z^2(1 - z)^3 :
Primeira derivada:
Multiplicando por :

Passo 8

Para a soma ddz ( 1 + z(1 - z)^3 ) = (1 - z)^3 cdot 1 - (1 + z) cdot 3(1 - z)^2(-1)(1 - z)^6 = (1 - z) + 3(1 + z)(1 - z)^4 = 4 + 2z(1 - z)^4 , vamos derivar novamente:
Derivando sumn=1^infty n^3 z^n = z(4 + 2z)(1 - z)^4 = 4z + 2z^2(1 - z)^4 = z + 4z^2 + z^3(1 - z)^4 :
Multiplicando por :

Passo 9

Finalmente, para ddz ( 4z + 2z^2(1 - z)^4 ) = (1 - z)^4 cdot (4 + 4z) - (4z + 2z^2) cdot 4(1 - z)^3(-1)(1 - z)^8 , vamos mais uma vez derivar a expressão anterior:
Derivando sumn=1^infty n^4 z^n = z + 11z^2 + 11z^3 + z^4(1 - z)^5 :
Simplificando:

Resposta

Assim, mostramos que:
& sumn=0^infty (n + 1) z^n = 1(1 - z)^2 & sumn=1^infty n z^n = z(1 - z)^2, sumn=1^infty n^2 z^n = z + z^2(1 - z)^3 & sumn=1^infty n^3 z^n = z + 4z^2 + z^3(1 - z)^4, sumn=1^infty n^4 z^n = z + 11z^2 + 11z^3 + z^4(1 - z)^5

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