Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa provar que várias somas infinitas envolvendo potências de
e
são iguais a certas frações com
no denominador. Isso tá ligado ao estudo de séries de potências e funções geradoras. Para resolver isso, vamos precisar entender a série geométrica básica e como derivar essa série para obter as somas com
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
Isso significa que a soma de
de
até o infinito é igual a
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a soma de
. Vamos separar isso em duas partes:
Já sabemos que
. Para a parte com
, vamos derivar a série geométrica.
Passo 4
Derivando a série geométrica em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, voltando à nossa soma inicial:
Portanto, mostramos que:
Passo 6
Vamos passar para a soma
. Notamos que isso já calculamos no Passo 4:
Como o termo
é zero, podemos escrever:
Passo 7
Agora, vamos para
. Para isso, vamos derivar novamente a expressão que obtivemos para
:
Primeira derivada:
Multiplicando por
:
Passo 8
Para a soma
, vamos derivar novamente:
Derivando
:
Multiplicando por
:
Passo 9
Finalmente, para
, vamos mais uma vez derivar a expressão anterior:
Derivando
:
Simplificando:
Resposta
Assim, mostramos que: