Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa provar que várias somas infinitas envolvendo potências de e são iguais a certas frações com no denominador. Isso tá ligado ao estudo de séries de potências e funções geradoras. Para resolver isso, vamos precisar entender a série geométrica básica e como derivar essa série para obter as somas com , , e .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
Isso significa que a soma de de até o infinito é igual a .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a soma de . Vamos separar isso em duas partes:
Já sabemos que . Para a parte com , vamos derivar a série geométrica.
Passo 4
Derivando a série geométrica em relação a :
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 5
Agora, voltando à nossa soma inicial:
Portanto, mostramos que:
Passo 6
Vamos passar para a soma . Notamos que isso já calculamos no Passo 4:
Como o termo é zero, podemos escrever:
Passo 7
Agora, vamos para . Para isso, vamos derivar novamente a expressão que obtivemos para :
Primeira derivada:
Multiplicando por :
Passo 8
Para a soma , vamos derivar novamente:
Derivando :
Multiplicando por :
Passo 9
Finalmente, para , vamos mais uma vez derivar a expressão anterior: