Uma barra de alumínio deve distender 2 mm quando se aplica a ela uma força de tração de 2200 N. Conhecendo-se os valores de E =70 GPa e Sadm=150 MPa, determine: a) o menor diâmetro,
b) o menor comprimento, que devem ser adotados para a barra.
Resposta: a) 4,3 mm, b) 933 mm

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra de alumínio que precisa se esticar 2 mm quando aplicamos uma força de tração de 2200 N. A gente sabe que o módulo de elasticidade é de 70 GPa e a tensão admissível é de 150 MPa. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser o menor diâmetro e o menor comprimento que essa barra pode ter para atender a esses requisitos. Vamos usar conceitos de tensão, deformação e a relação entre elas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a tensão e a deformação estão relacionadas. A tensão ( sigma = FA ) é a força aplicada dividida pela área da seção transversal da barra:
varepsilon = De
E a deformação ( sigma = E cdot varepsilon ) é a mudança no comprimento dividida pelo comprimento original:
Além disso, a Lei de Hooke nos diz que a tensão é igual ao módulo de elasticidade vezes a deformação:
Essas equações vão nos ajudar a conectar a força, o diâmetro e o comprimento da barra.

Passo 3

Vamos começar calculando a área mínima da seção transversal que a barra precisa ter para não exceder a tensão admissível de 150 MPa quando submetida à força de 2200 N. Usando a fórmula da tensão:
sigma = FA Rightarrow A = Fsigma
Substituindo os valores:
A = 2200, N150 times 10^6, Pa = 2200150 times 10^6 = 1.4667 times 10^-5, m^2
Convertendo para mm² (já que queremos o diâmetro em mm):
A = 1.4667 times 10^-5, m^2 times 10^6, mm^2m^2 = 14.6667, mm^2

Passo 4

Agora que temos a área mínima da seção transversal, vamos encontrar o diâmetro correspondente. A área de um círculo é dada por:
A = pi d^24
Resolvendo para d = raiz4Api :
d = raiz4 times 14.6667pi approx raiz58.66683.1416 approx raiz18.7 approx 4.3, mm
Substituindo :

Passo 5

Agora vamos determinar o menor comprimento que a barra pode ter para se estender 2 mm sob a força aplicada. Usando a relação entre tensão, módulo de elasticidade e deformação:
sigma = E cdot varepsilon
Sabemos que sigma = E cdot De, então:
E = 70 times 10^9, Pa, De
Substituindo os valores (convertendo L = 70 times 10^9 times 2 times 10^-3150 times 10^6 = 140 times 10^6150 times 10^6 approx 0.933, m = 933, mm para Pa e para metros):

Resposta

a) O menor diâmetro é 4,3 mm.
b) O menor comprimento é 933 mm.

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