Um arame de comprimento L deve ser cortado em dois pedaços. Uma parte deve ser dobrada na forma de um quadrado e outra na forma de um círculo. Determine em que ponto x < L deve ser cortado o arame para que a soma das áreas do quadrado e do círculo seja mínima.

Passo 1

Então, a gente tem um arame de comprimento total L que precisa ser cortado em dois pedaços. Um pedaço vai virar um quadrado e o outro vai virar um círculo. Nosso objetivo aqui é descobrir, onde exatamente (em um ponto x menor que L) devemos cortar o arame para que a soma das áreas do quadrado e do círculo seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente otimização, para encontrar o valor de x que minimiza essa soma de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir x como o comprimento do arame que vamos usar para formar o quadrado. Isso significa que o outro pedaço, que vai formar o círculo, tem comprimento . Agora, precisamos relacionar esses comprimentos com as áreas das figuras que vamos formar.

Passo 3

Vamos começar com o quadrado. A fórmula do perímetro do quadrado é , onde a é o lado do quadrado. Como o perímetro é igual ao comprimento do arame que usamos, temos:
A área do quadrado, então, é:

Passo 4

Agora, vamos para o círculo. O perímetro do círculo é a circunferência, que é dada por , onde r é o raio. Igualando ao comprimento do arame usado:
A área do círculo é:
í

Passo 5

Agora, queremos minimizar a soma das áreas do quadrado e do círculo:
í
Para encontrar o valor de x que minimiza , vamos derivar essa função em relação a x e igualar a derivada a zero.

Passo 6

Calculando a derivada de em relação a x:
Igualando a derivada a zero para encontrar o mínimo:
Vamos resolver para x:

Resposta

O arame deve ser cortado no ponto para que a soma das áreas do quadrado e do círculo seja mínima.

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