Um arame de comprimento
deve ser cortado em dois pedaços. Uma parte deve ser dobrada na forma de um quadrado e outra na forma de um círculo. Determine em que ponto
deve ser cortado o arame para que a soma das áreas do quadrado e do círculo seja mínima.
Passo 1
Então, a gente tem um arame de comprimento total
que precisa ser cortado em dois pedaços. Um pedaço vai virar um quadrado e o outro vai virar um círculo. Nosso objetivo aqui é descobrir, onde exatamente (em um ponto
menor que
) devemos cortar o arame para que a soma das áreas do quadrado e do círculo seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente otimização, para encontrar o valor de
que minimiza essa soma de áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir
como o comprimento do arame que vamos usar para formar o quadrado. Isso significa que o outro pedaço, que vai formar o círculo, tem comprimento
. Agora, precisamos relacionar esses comprimentos com as áreas das figuras que vamos formar.
Passo 3
Vamos começar com o quadrado. A fórmula do perímetro do quadrado é
, onde
é o lado do quadrado. Como o perímetro é igual ao comprimento do arame que usamos, temos:
A área do quadrado, então, é:
Passo 4
Agora, vamos para o círculo. O perímetro do círculo é a circunferência, que é dada por
, onde
é o raio. Igualando ao comprimento do arame usado:
A área do círculo é:
Passo 5
Agora, queremos minimizar a soma das áreas do quadrado e do círculo:
Para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar essa função em relação a
e igualar a derivada a zero.
Passo 6
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a derivada a zero para encontrar o mínimo:
Vamos resolver para
:
Resposta
O arame deve ser cortado no ponto
para que a soma das áreas do quadrado e do círculo seja mínima.
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tangencie a reta
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. Classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou de sela, justificando.
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