Determine os pontos extremos relativos da função:
. Classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou de sela, justificando.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos extremos relativos da função . Isso envolve usar cálculo diferencial para descobrir onde a função tem máximos ou mínimos locais. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é igual a zero, além de verificar a segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto e é essencial para identificar os pontos onde a função atinge extremos.
A função é:
A derivada de é:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de que fazem a derivada igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades:
Resolvendo a segunda equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , :
Então, e .

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos em , e , precisamos classificar cada um deles como máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usaremos a segunda derivada da função.
Calculando a segunda derivada de :

Passo 5

Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
  1. Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo relativo.
  1. Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo relativo.
  1. Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo relativo.

Resposta

Os pontos extremos relativos da função são:
  • : Máximo relativo
  • : Mínimo relativo
  • : Mínimo relativo

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