Determine os pontos extremos relativos da função:
. Classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou de sela, justificando.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos extremos relativos da função
. Isso envolve usar cálculo diferencial para descobrir onde a função tem máximos ou mínimos locais. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é igual a zero, além de verificar a segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto e é essencial para identificar os pontos onde a função atinge extremos.
A função é:
A derivada de
é:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
que fazem a derivada igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
⇒ -
Resolvendo a segunda equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
,
:
Então,
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos em
,
e
, precisamos classificar cada um deles como máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usaremos a segunda derivada da função.
Calculando a segunda derivada de
:
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo relativo.
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo relativo.
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo relativo.
Resposta
Os pontos extremos relativos da função são:
-
: Máximo relativo -
: Mínimo relativo -
: Mínimo relativo
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