Determine os parâmetros a, b e c, de modo que a parábola
tangencie a reta
no ponto de abscissa 1 e passe pelo ponto
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que envolve funções quadráticas e retas tangentes. A gente precisa descobrir os valores de a, b e c na equação da parábola
de modo que:
- A parábola seja tangente à reta
no ponto onde . - A parábola passe pelo ponto
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de algebra e cálculo, como derivadas para entender a tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a parábola ser tangente à reta
no ponto onde
. Isso quer dizer que, nesse ponto, as duas funções têm o mesmo valor de
e a mesma inclinação (ou derivada).
Então, vamos substituir
na equação da parábola e igualar ao valor da reta:
Passo 3
Agora, precisamos que as inclinações das duas funções sejam iguais no ponto de tangência. A derivada da parábola
é:
No ponto
, a derivada da parábola será:
A derivada da reta
é simplesmente 1. Então, igualamos as derivadas:
Passo 4
Além disso, a parábola deve passar pelo ponto
. Vamos substituir esses valores na equação da parábola:
Passo 5
Agora temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da Equação 2, podemos isolar
:
Passo 6
Substituímos
na Equação 1:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na Equação 3:
Passo 8
Com
, encontramos
pela relação
:
E para
:
Resposta
Os parâmetros são
,
e
.
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. Classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou de sela, justificando.