Determine os parâmetros a, b e c, de modo que a parábola tangencie a reta no ponto de abscissa 1 e passe pelo ponto

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que envolve funções quadráticas e retas tangentes. A gente precisa descobrir os valores de a, b e c na equação da parábola de modo que:
  1. A parábola seja tangente à reta no ponto onde .
  2. A parábola passe pelo ponto .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de algebra e cálculo, como derivadas para entender a tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a parábola ser tangente à reta no ponto onde . Isso quer dizer que, nesse ponto, as duas funções têm o mesmo valor de e a mesma inclinação (ou derivada).
Então, vamos substituir na equação da parábola e igualar ao valor da reta:
çã

Passo 3

Agora, precisamos que as inclinações das duas funções sejam iguais no ponto de tangência. A derivada da parábola é:
No ponto , a derivada da parábola será:
A derivada da reta é simplesmente 1. Então, igualamos as derivadas:
çã

Passo 4

Além disso, a parábola deve passar pelo ponto . Vamos substituir esses valores na equação da parábola:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da Equação 2, podemos isolar :

Passo 6

Substituímos na Equação 1:

Passo 7

Agora, substituímos e na Equação 3:

Passo 8

Com , encontramos pela relação :
E para :

Resposta

Os parâmetros são , e .

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. Classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou de sela, justificando.