Um arame fino de densidade linear constante
é entortado no formato da hélice
, com
. Determine a massa do arame.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um arame fino com densidade linear constante
que está enrolado na forma de uma hélice definida pela função vetorial , onde
varia de
a
. A gente precisa descobrir qual é a massa desse arame.
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do comprimento de curvas parametrizadas, e a relação entre massa, densidade e comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a massa de um arame com densidade linear constante
é dada pela fórmula:
onde
é o comprimento do arame.
Então, nosso objetivo agora é encontrar o comprimento da hélice, ou seja, calcular
.
Passo 3
Para encontrar o comprimento da hélice parametrizada por
de
até
, usamos a fórmula do comprimento de uma curva:
onde
é a derivada da função vetorial em relação a
, e
é o módulo dessa derivada.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, calculamos o módulo dessa derivada:
Simplificando:
Então, o módulo é constante e igual a
.
Passo 5
Agora, podemos calcular o comprimento
:
Resposta
A massa do arame é: