1,5 Um arame fino de densidade linear constante k é entortado no formato da hélice r(t) = 3 cos(t) i + 3 sen(t) j + t k, com 0 <= t <= 4 pi. Determine a massa do arame.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um arame fino com densidade linear constante que está enrolado na forma de uma hélice definida pela função vetorial , onde varia de a . A gente precisa descobrir qual é a massa desse arame.
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do comprimento de curvas parametrizadas, e a relação entre massa, densidade e comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a massa de um arame com densidade linear constante é dada pela fórmula:
onde é o comprimento do arame.
Então, nosso objetivo agora é encontrar o comprimento da hélice, ou seja, calcular .

Passo 3

Para encontrar o comprimento da hélice parametrizada por de até , usamos a fórmula do comprimento de uma curva:
onde é a derivada da função vetorial em relação a , e é o módulo dessa derivada.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
Agora, calculamos o módulo dessa derivada:
Simplificando:
Então, o módulo é constante e igual a .

Passo 5

Agora, podemos calcular o comprimento :

Resposta

A massa do arame é:

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