Considerando a função integrável no retangulo temos que
Calcule , sendo: e .

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla da função sobre o retângulo . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas e a propriedade que permite separar a função em duas funções independentes de e .

Passo 2

Observamos que a função pode ser escrita como o produto de duas funções:
onde
Essa separação nos permite dividir a integral dupla em duas integrais simples.

Passo 3

Aplicando a propriedade da integral dupla para funções que são produtos de funções de e , temos:
Substituindo e :

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
Usamos a identidade trigonométrica :
Avaliando de a :

Passo 5

Agora, calculamos a segunda integral:
Fazemos a substituição , , então e os limites ficam de a :

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais:

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