Considerando a função f(x, y)=g(x) h(y) integrável no retangulo A=(x, y) in R^2 ; a <= x <= b, c <= y <= d temos que
integral duplaB f(x, y) d x d y=integrala^b g(x) d x integralc^d h(y) d y
Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y, sendo: f(x, y)=sin ^2 x1+4 y^2 e A=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= pi4, 0 <= y <= 1.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla da função sobre o retângulo . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas e a propriedade que permite separar a função em duas funções independentes de e .

Passo 2

Observamos que a função f(x, y) = g(x) cdot h(y) pode ser escrita como o produto de duas funções:
g(x) = sin^2 x e h(y) = 11 + 4y^2
onde
Essa separação nos permite dividir a integral dupla em duas integrais simples.

Passo 3

Aplicando a propriedade da integral dupla para funções que são produtos de funções de integral duplaA f(x, y) , dx , dy = ( integral0^pi4 g(x) , dx ) ( integral0^1 h(y) , dy ) e integral duplaA f(x, y) , dx , dy = ( integral0^pi4 sin^2 x , dx ) ( integral0^1 11 + 4y^2 , dy ) , temos:
Substituindo e :

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^pi4 sin^2 x , dx
Usamos a identidade trigonométrica integral sin^2 x , dx = 12 integral (1 - cos 2x) , dx = x2 - sin 2x4 + C :
[ x2 - sin 2x4 ]0^pi4 = pi8 - sin ( pi2 )4 = pi8 - 14
Avaliando de a :

Passo 5

Agora, calculamos a segunda integral:
integral0^1 11 + 4y^2 , dy
Fazemos a substituição integral0^1 11 + 4y^2 , dy = 12 integral0^2 11 + u^2 , du = 12 [ tan^-1 u ]0^2 = 12 tan^-1 2 , , então e os limites ficam de a :

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais:
integral duplaA f(x, y) , dx , dy = ( pi8 - 14 ) cdot tan^-1 22 = ( pi8 - 14 ) tan^-1 22

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