Determine o trabalho feito pelo campo de força
, ao mover uma partícula ao longo a curva
.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Queremos calcular o trabalho realizado por um campo de força
ao mover uma partícula ao longo de uma curva
definida por , onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente a integração de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o campo de força ao longo da curva
. Isso significa substituir as coordenadas
,
e
na função
pelas componentes de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da curva
em relação a
, que nos dá o vetor tangente
:
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto escalar entre
e
:
Passo 5
O trabalho
é dado pela integral de linha do produto escalar ao longo da curva
:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Deixe
, então . Quando
,
; e quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral:
Considerando o sinal negativo inicial, temos:
Resposta
O trabalho realizado é
.
Exercícios relacionados
Considerando a função
integrável no retangulo
temos que
Calcule
, sendo:
e
.
Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial: