Determine o trabalho feito pelo campo de força , ao mover uma partícula ao longo a curva .

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Queremos calcular o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de uma curva definida por , onde varia de a . Para resolver isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente a integração de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o campo de força ao longo da curva . Isso significa substituir as coordenadas , e na função pelas componentes de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da curva em relação a , que nos dá o vetor tangente :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar entre e :

Passo 5

O trabalho é dado pela integral de linha do produto escalar ao longo da curva :

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Deixe , então . Quando , ; e quando , .
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral:
Considerando o sinal negativo inicial, temos:

Resposta

O trabalho realizado é .

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Calcule , sendo: e .
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