1,5 Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y, z) = x^2 i - x y j + z^4 k, ao mover uma partícula ao longo a curva C = { r(t) = cos(t) i + sen(t) j + k, 0 <= t <= pi/2 }.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Queremos calcular o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de uma curva C definida por , onde varia de t a 0. Para resolver isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente a integração de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o campo de força ao longo da curva C. Isso significa substituir as coordenadas x, y e z na função F pelas componentes de vec(r)(t):

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da curva vec(r)(t) em relação a t, que nos dá o vetor tangente :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar entre e :

Passo 5

O trabalho W é dado pela integral de linha do produto escalar ao longo da curva C:

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Deixe , então . Quando , t = 0; e quando , t = pi / 2.
Substituindo na integral:
u = 0

Passo 7

Agora, resolvemos a integral:
Considerando o sinal negativo inicial, temos:

Resposta

O trabalho realizado é .

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