Um arame com o formato de um semicírculo x^2 + y^2 = 1, y ≥ 0, é mais grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a função densidade linear em qualquer ponto é proporcional à sua distância à reta y = 1. R:(0, 0.38)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um arame na forma de um semicírculo definido por com . A densidade desse arame é maior perto da base ( ) e menor perto do topo ( ), sendo proporcional à distância até a reta . Nosso objetivo é encontrar o centro de massa desse arame. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo, especificamente sobre centro de massa e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o semicírculo. Podemos usar coordenadas polares, onde e , com variando de a .

Passo 3

A densidade linear em qualquer ponto é proporcional à distância até a reta . Essa distância é . Então, podemos escrever:
onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 4

Para encontrar o centro de massa , precisamos calcular as integrais:
Aqui, é o elemento de comprimento do arame, que para o semicírculo parametrizado é , já que o raio é 1.

Passo 5

Vamos calcular o denominador comum, que é a massa total :
Integrando:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Calculando as integrais:
Portanto, .

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Calculando as integrais:
Então:
Simplificando:

Resposta

O centro de massa do arame é .

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