Um arame com o formato de um semicírculo , é mais grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a função densidade linear em qualquer ponto é proporcional à sua distância à reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um arame na forma de um semicírculo definido por com . A densidade desse arame é maior perto da base () e menor perto do topo (), sendo proporcional à distância até a reta . Nosso objetivo é encontrar o centro de massa desse arame. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo, especificamente sobre centro de massa e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o semicírculo. Podemos usar coordenadas polares, onde e , com variando de a .
Passo 3
A densidade linear em qualquer ponto é proporcional à distância até a reta . Essa distância é . Então, podemos escrever:
onde é a constante de proporcionalidade.
Passo 4
Para encontrar o centro de massa , precisamos calcular as integrais:
Aqui, é o elemento de comprimento do arame, que para o semicírculo parametrizado é , já que o raio é 1.
Passo 5
Vamos calcular o denominador comum, que é a massa total :