Determine: a área da região do plano z = -y + 1 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1. Resp: raiz(2) * pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região no plano que está dentro do cilindro . Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas em superfícies e coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o cilindro . Esse é um cilindro circular reto com raio 1, centrado no eixo . Ele se estende infinitamente nas direções positivas e negativas de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o plano . Esse plano inclina-se no eixo e intercepta o eixo no ponto . A interseção do plano com o cilindro vai formar uma curva fechada.

Passo 4

Para calcular a área da região que está dentro do cilindro sob esse plano, vamos usar coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, , , e .

Passo 5

No plano , substituindo , temos . A região que nos interessa está limitada pelo cilindro, ou seja, .

Passo 6

A área em coordenadas cilíndricas é dada por:
Onde é a região .

Passo 7

Calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:

Passo 8

Como varia de 0 a 1 e de 0 a , a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida e simplificada para .

Resposta

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