Determine: a área da região do plano
que está dentro do cilindro
. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região no plano
que está dentro do cilindro
. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas em superfícies e coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o cilindro
. Esse é um cilindro circular reto com raio 1, centrado no eixo
. Ele se estende infinitamente nas direções positivas e negativas de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o plano
. Esse plano inclina-se no eixo
e intercepta o eixo
no ponto
. A interseção do plano com o cilindro vai formar uma curva fechada.
Passo 4
Para calcular a área da região que está dentro do cilindro sob esse plano, vamos usar coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada,
,
, e
.
Passo 5
No plano
, substituindo
, temos
. A região que nos interessa está limitada pelo cilindro, ou seja,
.
Passo 6
A área em coordenadas cilíndricas é dada por:
Onde
é a região
.
Passo 7
Calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 8
Como
varia de 0 a 1 e
de 0 a
, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida e simplificada para
.
Resposta
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, é mais grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a função densidade linear em qualquer ponto é proporcional à sua distância à reta
.
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Sejam
e
. Calcular