Um arame com formato de um semicirculo x^2 + y^2 = 1, y ≥ 0 é mais grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a função densidade linear rho(x, y) é proporcional à sua distancia a reta y = 1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um arame que forma um semicírculo definido pela equação com . A densidade linear do arame não é constante; ela depende da distância do ponto até a reta . Nosso objetivo é encontrar o centro de massa desse arame. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral aplicados à determinação do centro de massa de objetos com densidade variável.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a densidade linear . Como é proporcional à distância até a reta , podemos escrever:
onde é uma constante de proporcionalidade.

Passo 3

Como estamos lidando com um semicírculo, podemos parametrizar as coordenadas e usando o ângulo :
onde varia de a .

Passo 4

O elemento de comprimento no semicírculo pode ser expresso em termos de :
Isso ocorre porque, para um círculo de raio 1, o comprimento de arco é igual ao ângulo em radianos.

Passo 5

Agora, expressamos a densidade em termos de :
pois para em .

Passo 6

O centro de massa é dado por:
Vamos calcular o denominador primeiro.

Passo 7

Calculando a massa total :

Passo 8

Agora, calculamos :
A integral de de a é zero, e a integral de também é zero devido à simetria. Portanto, .

Passo 9

Agora, calculamos :
Calculando as integrais:
Portanto:

Resposta

O centro de massa do arame está localizado em .

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