Um arame com formato de um semicirculo
é mais grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a função densidade linear
é proporcional à sua distancia a reta
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um arame que forma um semicírculo definido pela equação
com
. A densidade linear
do arame não é constante; ela depende da distância do ponto até a reta
. Nosso objetivo é encontrar o centro de massa desse arame. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral aplicados à determinação do centro de massa de objetos com densidade variável.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a densidade linear
. Como
é proporcional à distância até a reta
, podemos escrever:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 3
Como estamos lidando com um semicírculo, podemos parametrizar as coordenadas
e
usando o ângulo
:
onde
varia de
a
.
Passo 4
O elemento de comprimento
no semicírculo pode ser expresso em termos de
:
Isso ocorre porque, para um círculo de raio 1, o comprimento de arco é igual ao ângulo em radianos.
Passo 5
Agora, expressamos a densidade
em termos de
:
pois
para
em
.
Passo 6
O centro de massa
é dado por:
Vamos calcular o denominador primeiro.
Passo 7
Calculando a massa total
:
Passo 8
Agora, calculamos
:
A integral de
de
a
é zero, e a integral de
também é zero devido à simetria. Portanto,
.
Passo 9
Agora, calculamos
:
Calculando as integrais:
Portanto:
Resposta
O centro de massa do arame está localizado em
.
Exercícios relacionados
Calcule o trabalho
feito pelo campo de força
ao se mover uma partícula ao longo de uma cúbica retorcida
.
Calcule
onde
consiste no segmento de reta
que une os pontos
a
seguido pelo segmento vertical
de
a
.
Diga se cada equação é verdadeira ou falsa já assumindo que a divisão por zero é indefinida. Justifique sua resposta. (Dica: apenas dois itens são verdadeiros.)
Diga se cada equação é verdadeira ou falsa já assumindo que a divisão por zero é indefinida. Justifique sua resposta. (Dica: apenas dois itens são verdadeiros.)