Calcule o trabalho W feito pelo campo de força F(x, y, z) = x*y*i + y*z*j + z*x*k ao se mover uma partícula ao longo de uma cúbica retorcida r(t) = t * i + t^2 * j + t^3 * k, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o trabalho feito por um campo de força quando uma partícula se move ao longo de uma curva definida por para . Vamos usar o conceito de linha de força e cálculo de trabalho por integração de linha para resolver isso. Precisamos saber como parametrizar a curva, encontrar a derivada de , substituir na expressão do trabalho e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho feito por um campo de força ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Onde é a curva ao longo da qual a partícula se move.

Passo 3

Nossa curva está parametrizada por , então vamos encontrar a derivada de em relação a , que é :

Passo 4

Agora, substituímos as componentes de na expressão do campo de força :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho :

Resposta

O trabalho feito pelo campo de força ao mover a partícula é unidades de trabalho.

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