Calcule onde consiste no segmento de reta que une os pontos a seguido pelo segmento vertical de a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é composta por dois segmentos de reta:
: vai de até
: vai de até
Vamos resolver cada segmento separadamente e depois somar os resultados. Para isso, vamos parametrizar cada parte da curva e calcular a integral em cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento .
Parametrização de :
Escolhemos um parâmetro que vai de 0 a 1.
Agora, calculamos as derivadas em relação a = [ 292 t^2 + 10t ]0^1 = 292 + 10 = 492 :
Calculando a integral em :
Substituímos na integral:
Simplificando:
Integrando:
Passo 3
Agora, vamos parametrizar o segmento x(t) = 3 y(t) = 4 z(t) = 5 - 5t com t in [0, 1] .
Parametrização de dxdt = 0, dydt = 0, dzdt = -5 :
Aqui, apenas a coordenada integralC2 y , dx + z , dy + x , dz = integral0^1 [4 cdot 0 + (5 - 5t) cdot 0 + 3 cdot (-5)] , dt = integral0^1 (-15) , dt = -15 muda de 5 para 0, enquanto e permanecem constantes.
Calculamos as derivadas:
Calculando a integral em :
Substituímos na integral:
Resposta
Somando os resultados de 492 + (-15) = 492 - 302 = 192 e :