Calcule integralC y d x+z d y+x d z onde C consiste no segmento de reta C1 que une os pontos (2,0,0) a (3,4,5) seguido pelo segmento vertical C2 de (3,4,5) a (3,4,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é composta por dois segmentos de reta:
  1. : vai de até
  2. : vai de até
Vamos resolver cada segmento separadamente e depois somar os resultados. Para isso, vamos parametrizar cada parte da curva e calcular a integral em cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento x(t) = 2 + t(3 - 2) = 2 + t y(t) = 0 + t(4 - 0) = 4t z(t) = 0 + t(5 - 0) = 5t .
Parametrização de dxdt = 1, dydt = 4, dzdt = 5 :
Escolhemos um parâmetro integralC1 y , dx + z , dy + x , dz = integral0^1 [4t cdot 1 + 5t cdot 4 + (2 + t) cdot 5] , dt que vai de 0 a 1.
= integral0^1 (4t + 20t + 10 + 5t) , dt = integral0^1 (29t + 10) , dt
Agora, calculamos as derivadas em relação a = [ 292 t^2 + 10t ]0^1 = 292 + 10 = 492 :
Calculando a integral em :
Substituímos na integral:
Simplificando:
Integrando:

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o segmento x(t) = 3 y(t) = 4 z(t) = 5 - 5t com t in [0, 1] .
Parametrização de dxdt = 0, dydt = 0, dzdt = -5 :
Aqui, apenas a coordenada integralC2 y , dx + z , dy + x , dz = integral0^1 [4 cdot 0 + (5 - 5t) cdot 0 + 3 cdot (-5)] , dt = integral0^1 (-15) , dt = -15 muda de 5 para 0, enquanto e permanecem constantes.
Calculamos as derivadas:
Calculando a integral em :
Substituímos na integral:

Resposta

Somando os resultados de 492 + (-15) = 492 - 302 = 192 e :
Então, o valor da integral é .

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