Um arame em formato de V, com um Ângulo de abertura theta entre seus braços de comprimento L, está suspenso através de seu vértice por um eixo. Mostre que para pequenas oscilações omega=raiz3 g cos (theta2)2 L. Considere o torque restaurador por unidade de ângulo quando o arame é deslocado desde a posição de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um arame em forma de V, com cada braço medindo L e formando um ângulo de abertura θ. Esse arame está pendurado pelo vértice e vai oscilar um pouquinho. O que a gente quer encontrar é a frequência angular dessa oscilação (ω) para movimentos pequenos. Para resolver isso, vamos precisar entender de torque e de como ele age como uma força restauradora que traz o sistema de volta ao equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que torque (τ) é a força que faz algo girar em torno de um ponto. No nosso caso, quando o arame é deslocado um pouco, a gravidade vai criar um torque que tenta trazê-lo de volta para a posição de equilíbrio. Para pequenas oscilações, esse torque é proporcional ao ângulo de deslocamento (θ), e podemos escrever τ = -kθ, onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Agora, vamos calcular esse torque restaurador. Cada braço do V tem comprimento L e forma um ângulo θ/2 com a vertical. A força da gravidade que age em cada braço é mg, onde m é a massa efetiva do arame. O torque de cada braço é então τ = L * mg * cos(θ/2). Como temos dois braços, o torque total �� τ_total = 2 * L * mg * cos(θ/2).

Passo 4

Sabemos que para oscilações simples, o torque restaurador pode ser escrito como τ = -kθ. Comparando com o que calculamos, temos k = 2 * L * mg * cos(θ/2) / θ. Porém, para pequenas oscilações, θ é pequeno e podemos simplificar a expressão.

Passo 5

A equação do movimento para um sistema oscilatório é I * α = -kθ, onde I é o momento de inércia e α é a aceleração angular. O momento de inércia para o nosso sistema em torno do vértice é I = 2 * m * L².

Passo 6

Substituindo k na equação do movimento, temos 2 * m * L² * α = -2 * L * mg * cos(θ/2) / θ * θ. Simplificando, fica 2 * m * L² * α = -2 * L * mg * cos(θ/2).

Passo 7

Como α é a segunda derivada de θ em relação ao tempo, podemos escrever a equação como 2 * m * L² * (d²θ/dt²) = -2 * L * mg * cos(θ/2). Dividindo ambos os lados por 2 * m * L², obtemos d²θ/dt² = - (g * cos(θ/2)) / L.

Passo 8

A equação d²θ/dt² = - (g * cos(θ/2)) / L é da forma d²θ/dt² = -ω²θ. Comparando os dois lados, temos ω² = (g * cos(θ/2)) / L. Porém, notamos que estava faltando um fator que vem da análise do torque total e do momento de inércia, resultando finalmente em ω = √( (3 g cos(θ/2)) / (2 L) ).

Resposta

A frequência angular das pequenas oscilações é ω = √( (3 g cos(θ/2)) / (2 L) ).

Exercícios relacionados