Um arame tem a forma da interseção de com . Calcule a massa do arame sabendo que sua densidade é dada por .
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve cálculo de massa de um arame no espaço tridimensional. O enunciado nos dá a forma do arame como a interseção de duas superfícies: uma esfera definida por e um plano dado por . Além disso, a densidade do arame é fornecida por . Para resolver esse problema, vamos precisar de conhecimentos de geometria espacial, parametrização de curvas, e cálculo de integrais para determinar a massa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera. Podemos reescrever completando os quadrados para identificar o centro e o raio da esfera.
Completando os quadrados:
Isso nos mostra que a esfera tem centro em e raio .
Passo 3
Agora, vamos considerar a equação do plano , ou seja, . Essa equação nos permite expressar em termos de , o que será útil para parametrizar a curva de interseção entre a esfera e o plano.
Passo 4
Para encontrar a interseção entre a esfera e o plano, substituímos na equação da esfera:
Simplificando:
Esta é a equação de uma elipse no espaço.
Passo 5
Vamos parametrizar a curva da interseção. Podemos escolher como parâmetro. A partir de , pode ser expresso em termos de :
De
Portanto, temos:
Passo 6
Para calcular a massa do arame, precisamos integrar a densidade ao longo da curva. A massa é dada por:
Onde é o elemento de arclength, que pode ser calculado como:
Passo 7
Vamos calcular e :
A derivada de em relação a :
A derivada de em relação a :
Passo 8
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Passo 9
A expressão para a massa fica:
Substituímos pela expressão parametrizada:
Portanto:
Passo 10
Finalmente, precisamos determinar os limites de integração para . Observando a equação da elipse:
Assim, os limites de integração são de a .
Resposta
A massa do arame é dada pela integral:
Esta integral pode ser resolvida numericamente para obter o valor final da massa.