Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a função é igual a e a curva é dada por para entre e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional, e vamos precisar entender como parametrizar a curva, substituir na função e calcular o diferencial de comprimento .
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Já temos . Isso significa que , e .
Passo 3
Agora, vamos substituir esses valores na função . Então:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Então, .
Passo 5
Agora, precisamos calcular o diferencial de comprimento . Para isso, encontramos a derivada de em relação a :
Passo 6
O módulo dessa derivada nos dá :
Passo 7
Agora, nossa integral fica:
Passo 8
Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que: