Calcule , onde e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a função é igual a e a curva é dada por para entre e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional, e vamos precisar entender como parametrizar a curva, substituir na função e calcular o diferencial de comprimento .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Já temos . Isso significa que , e .

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na função . Então:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos calcular o diferencial de comprimento . Para isso, encontramos a derivada de em relação a :

Passo 6

O módulo dessa derivada nos dá :

Passo 7

Agora, nossa integral fica:

Passo 8

Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que:
Então, a integral simplifica para:

Passo 9

Vamos agora integrar termo a termo:

Passo 10

Somando os resultados:

Resposta

O valor da integral é ou .

Exercícios relacionados

O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima que um novo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha produzirá novas unidades em dias após receber treinamento. Pergunta-se:
(a) Qual a produção do funcionário no início do treinamento?
(b) O que acontece com o nível de produção a longo prazo?
Um arame tem a forma da interseção de com . Calcule a massa do arame sabendo que sua densidade é dada por .
Calcule , ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente: elipse ;