Calcule integralr f(x, y, z) d s, onde f(x, y, z)=3 x^2 y z e r(t)=(t, t^2, 23 t^3), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralr f(x, y, z) , ds, onde a função f(x, y, z) é igual a 3x^2yz e a curva r(t) é dada por (t, t^2, 23 t^3) para t entre 0 e 1. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional, e vamos precisar entender como parametrizar a curva, substituir na função e calcular o diferencial de comprimento ds.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Já temos r(t) = (t, t^2, 23 t^3). Isso significa que x = t, y = t^2 e z = 23 t^3.

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na função f(x, y, z). Então:
f(r(t)) = 3x^2yz = 3(t)^2 cdot t^2 cdot 23t^3

Passo 4

Simplificando a expressão:
3t^2 cdot t^2 cdot 23t^3 = 3 cdot 23 cdot t^2+2+3 = 2t^7
Então, f(r(t)) = 2t^7.

Passo 5

Agora, precisamos calcular o diferencial de comprimento ds. Para isso, encontramos a derivada de r(t) em relação a t:
r,'(t) = (dxdt, dydt, dzdt) = (1, 2t, 2t^2)

Passo 6

O módulo dessa derivada nos dá ds:
|r,'(t)| = raiz1^2 + (2t)^2 + (2t^2)^2 = raiz1 + 4t^2 + 4t^4

Passo 7

Agora, nossa integral fica:
integral0^1 f(r(t)) , |r,'(t)| , dt = integral0^1 2t^7 cdot raiz1 + 4t^2 + 4t^4 , dt

Passo 8

Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que:
raiz1 + 4t^2 + 4t^4 = raiz(2t^2 + 1)^2 = 2t^2 + 1
Então, a integral simplifica para:
integral0^1 2t^7 (2t^2 + 1) , dt = integral0^1 (4t^9 + 2t^7) , dt

Passo 9

Vamos agora integrar termo a termo:
integral0^1 4t^9 , dt = 4 cdot t^1010 |0^1 = 410 = 25
integral0^1 2t^7 , dt = 2 cdot t^88 |0^1 = 28 = 14

Passo 10

Somando os resultados:
25 + 14 = 820 + 520 = 1320 = 0,65

Resposta

O valor da integral é 1320 ou 0,65.

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