Encontre os valores das constantes e , se possível, para que seja contínua para todo a função:

Passo 1

Então, temos uma função definida por partes chamada e queremos encontrar os valores das constantes e para que essa função seja contínua em todo o conjunto dos números reais, . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como garantir que as diferentes partes da função se conectem sem “saltos”. Vamos usar conceitos de limites e igualar os valores das funções nos pontos de divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. Olhando para a função:
Vemos que as mudanças ocorrem nos pontos e . Para que seja contínua nesses pontos, os limites à esquerda e à direita desses pontos devem ser iguais.

Passo 3

Vamos começar com o ponto . Precisamos que o limite de quando se aproxima de pela direita seja igual ao limite quando se aproxima pela esquerda.
Para , a função é . Então,
Para , a função é . Então,
Para continuidade em , esses limites devem ser iguais:

Passo 4

Agora, vamos analisar o ponto . Novamente, precisamos que o limite de quando se aproxima de pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima pela direita.
Para , a função é . Sabemos que , então:
Para , a função é . Então,
Igualando os dois limites para garantir a continuidade em :
Resolvendo para :

Resposta

As constantes que tornam contínua para todo são e .

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Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) .
(b) ( ) O limite .
© ( ) A função é descontínua no ponto .
(d) ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação .
(e) ( ) O limite .