Encontre os valores das constantes k e m, se possível, para que seja contínua para todo x em R a função:
h(x) = { x^2 + 5, x > 2; m(x + 1) + k, -1 < x <= 2; 2x^3 + x + 7, x <= -1 }

Passo 1

Então, temos uma função definida por partes chamada h(x) e queremos encontrar os valores das constantes k e m para que essa função seja contínua em todo o conjunto dos números reais, x em R. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como garantir que as diferentes partes da função se conectem sem “saltos”. Vamos usar conceitos de limites e igualar os valores das funções nos pontos de divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função h(x) muda de expressão. Olhando para a função:
Vemos que as mudanças ocorrem nos pontos e x = 2. Para que h(x) seja contínua nesses pontos, os limites à esquerda e à direita desses pontos devem ser iguais.

Passo 3

Vamos começar com o ponto . Precisamos que o limite de h(x) quando x se aproxima de -1 pela direita seja igual ao limite quando x se aproxima pela esquerda.
Para , a função é . Então,
Para , a função é . Então,
Para continuidade em , esses limites devem ser iguais:

Passo 4

Agora, vamos analisar o ponto x = 2. Novamente, precisamos que o limite de h(x) quando x se aproxima de pela esquerda seja igual ao limite quando x se aproxima pela direita.
Para , a função é . Sabemos que , então:
Para x > 2, a função é . Então,
Igualando os dois limites para garantir a continuidade em x = 2:
Resolvendo para m:

Resposta

As constantes que tornam h(x) contínua para todo x em R são e .

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