Calcule
, ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente: elipse
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha
ao longo de um caminho fechado que é uma elipse dada por
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais de linha em geometria vetorial, e vamos usar o Teorema de Green para resolver.
Passo 2
O Teorema de Green nos ajuda a transformar uma integral de linha ao longo de um caminho fechado em uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a área da região
que é a elipse
. Podemos reescrever a equação da elipse na forma padrão dividindo por 36:
Aqui, o semi-eixo maior
e o semi-eixo menor
.
Passo 5
A área
de uma elipse é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Voltando à integral dupla:
Resposta
A integral
ao longo da elipse é igual a
.