Calcule integralC-y d x+x d y, ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente: elipse x^2+36 y^2=36;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha ao longo de um caminho fechado que é uma elipse dada por . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais de linha em geometria vetorial, e vamos usar o Teorema de Green para resolver.

Passo 2

O Teorema de Green nos ajuda a transformar uma integral de linha ao longo de um caminho fechado em uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 1 - (-1) ) dA = integral duplaD 2 , dA

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a área da região x^236 + y^21 = 1 que é a elipse . Podemos reescrever a equação da elipse na forma padrão dividindo por 36:
Aqui, o semi-eixo maior e o semi-eixo menor .

Passo 5

A área A = pi times a times b de uma elipse é dada por:
A = pi times 6 times 1 = 6pi
Substituindo os valores:

Passo 6

Voltando à integral dupla:
integral duplaD 2 , dA = 2 times A = 2 times 6pi = 12pi

Resposta

A integral ao longo da elipse é igual a .

Exercícios relacionados