Uma aranha, de massa 0,36 g, está no centro da sua teia horizontal, e cede 3,00 mm pela ação do peso do animal. Estimar a freqüência de vibração vertical deste sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma aranha com massa de 0,36,g que está no centro da teia e ela faz a teia ceder 3,00,mm por causa do seu peso. O que queremos descobrir é qual a frequência de vibração vertical desse sistema. Isso tá relacionado ao estudo de vibrações harmônicas, onde a teia funciona tipo uma mola que vai vibrar quando a aranha se move.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A aranha está puxando a teia para baixo com o seu peso, e a teia estica uma certa distância. Nesse equilíbrio, a força que a aranha exerce para baixo ( F = mg) é igual à força que a teia exerce para cima para equilibrar essa puxada. A teia está agindo como uma mola, então a força da mola é dada por F = kx, onde k é a constante da mola e x é a deformação (no caso, os 3,00,mm que a teia cede).

Passo 3

Vamos converter as unidades para facilitar os cálculos. A massa da aranha é 0,36,g, que em quilogramas fica:
m = 0,36,g = 0,00036,kg
E a deformação da teia é 3,00,mm, que em metros é:
x = 3,00,mm = 0,003,m

Passo 4

Agora, usando o equilíbrio das forças, temos:
mg = kx
Queremos encontrar a constante da mola k, então rearranjamos a equação:
k = mgx

Passo 5

Vamos substituir os valores na equação para calcular k:
k = 0,00036,kg times 9,81,m/s^20,003,m = 0,0035316,N0,003,m = 1,1772,N/m

Passo 6

Agora que temos a constante da mola, podemos calcular a frequência de vibração. A fórmula para a frequência f de um sistema massa-mola é:
f = 12pi raizkm

Passo 7

Substituindo os valores que já encontramos:
f = 12pi raiz1,1772,N/m0,00036,kg = 12pi raiz3270 approx 16,2832 times 57,2 approx 9,09,Hz

Resposta

A frequência de vibração vertical desse sistema é aproximadamente 9,09,Hz.

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