Uma aranha, de massa
, está no centro da sua teia horizontal, e cede
pela ação do peso do animal. Estimar a freqüência de vibração vertical deste sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma aranha com massa de
que está no centro da teia e ela faz a teia ceder
por causa do seu peso. O que queremos descobrir é qual a frequência de vibração vertical desse sistema. Isso tá relacionado ao estudo de vibrações harmônicas, onde a teia funciona tipo uma mola que vai vibrar quando a aranha se move.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A aranha está puxando a teia para baixo com o seu peso, e a teia estica uma certa distância. Nesse equilíbrio, a força que a aranha exerce para baixo (
) é igual à força que a teia exerce para cima para equilibrar essa puxada. A teia está agindo como uma mola, então a força da mola é dada por
, onde
é a constante da mola e
é a deformação (no caso, os
que a teia cede).
Passo 3
Vamos converter as unidades para facilitar os cálculos. A massa da aranha é
, que em quilogramas fica:
E a deformação da teia é
, que em metros é:
Passo 4
Agora, usando o equilíbrio das forças, temos:
Queremos encontrar a constante da mola
, então rearranjamos a equação:
Passo 5
Vamos substituir os valores na equação para calcular
:
Passo 6
Agora que temos a constante da mola, podemos calcular a frequência de vibração. A fórmula para a frequência
de um sistema massa-mola é:
Passo 7
Substituindo os valores que já encontramos:
Resposta
A frequência de vibração vertical desse sistema é aproximadamente
.
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