Uma aranha, de massa , está no centro da sua teia horizontal, e cede pela ação do peso do animal. Estimar a freqüência de vibração vertical deste sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma aranha com massa de que está no centro da teia e ela faz a teia ceder por causa do seu peso. O que queremos descobrir é qual a frequência de vibração vertical desse sistema. Isso tá relacionado ao estudo de vibrações harmônicas, onde a teia funciona tipo uma mola que vai vibrar quando a aranha se move.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A aranha está puxando a teia para baixo com o seu peso, e a teia estica uma certa distância. Nesse equilíbrio, a força que a aranha exerce para baixo ( ) é igual à força que a teia exerce para cima para equilibrar essa puxada. A teia está agindo como uma mola, então a força da mola é dada por , onde é a constante da mola e é a deformação (no caso, os que a teia cede).

Passo 3

Vamos converter as unidades para facilitar os cálculos. A massa da aranha é , que em quilogramas fica:
E a deformação da teia é , que em metros é:

Passo 4

Agora, usando o equilíbrio das forças, temos:
Queremos encontrar a constante da mola , então rearranjamos a equação:

Passo 5

Vamos substituir os valores na equação para calcular :

Passo 6

Agora que temos a constante da mola, podemos calcular a frequência de vibração. A fórmula para a frequência de um sistema massa-mola é:

Passo 7

Substituindo os valores que já encontramos:

Resposta

A frequência de vibração vertical desse sistema é aproximadamente .

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