Um oscilador amortecido perde 2 % da sua energia durante cada ciclo. (a) Quantos ciclos se passarão até que a energia original tenha a sua metade dissipada? (b) Qual o fator Q do oscilador? © Se a freqüência natural for 100 Hz, qual a largura da curva de ressonância quando o oscilador for excitado?

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre um oscilador amortecido que perde 2% da sua energia a cada ciclo. A matéria que vamos usar aqui envolve conceitos de amortecimento em osciladores e fator Q. Para resolver, vamos precisar entender como a energia decai em ciclos e como isso se relaciona com o fator Q e a largura da curva de ressonância.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): quantos ciclos são necessários para que a energia original tenha a sua metade dissipada. Sabemos que a cada ciclo, a energia En = E0 times (0,98)^n é reduzida para E02 = E0 times (0,98)^n da energia anterior, já que perde 2%.
Podemos modelar isso com a fórmula de decaimento exponencial:
12 = (0,98)^n
Queremos encontrar ln(12) = n times ln(0,98) tal que n = ln(0,5)ln(0,98) .
Configurando a equação:
n = -0,6931-0,0202 approx 34,3
Dividindo ambos os lados por :
Agora, vamos resolver para usando logaritmos:
Isolando :
Calculando:

Passo 3

Agora, na parte (b), precisamos encontrar o fator Q do oscilador. O fator Q é uma medida de quão “apertada” é a ressonância do oscilador, relacionado ao amortecimento.
A relação entre o fator Q e a perda de energia por ciclo ( Q = pide) é dada por:
Q = pi0,02 = 50pi approx 157,08
Aqui, (já que perde 2% por ciclo).
Então:

Passo 4

Finalmente, na parte ©, queremos encontrar a largura da curva de ressonância ( De) quando a frequência natural é 100 Hz.
A largura De em Hz está relacionada ao fator Q e à frequência natural pela fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

(a) São necessários aproximadamente 34 ciclos para que a energia original seja reduzida à metade.
(b) O fator do oscilador é aproximadamente 157,08.
© A largura da curva de ressonância é cerca de 0,637 Hz.

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