Um oscilador amortecido perde
da sua energia durante cada ciclo. (a) Quantos ciclos se passarão até que a energia original tenha a sua metade dissipada? (b) Qual o fator
do oscilador? © Se a freqüência natural for 100 Hz, qual a largura da curva de ressonância quando o oscilador for excitado?
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre um oscilador amortecido que perde 2% da sua energia a cada ciclo. A matéria que vamos usar aqui envolve conceitos de amortecimento em osciladores e fator Q. Para resolver, vamos precisar entender como a energia decai em ciclos e como isso se relaciona com o fator Q e a largura da curva de ressonância.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): quantos ciclos são necessários para que a energia original tenha a sua metade dissipada. Sabemos que a cada ciclo, a energia
é reduzida para
da energia anterior, já que perde 2%.
Podemos modelar isso com a fórmula de decaimento exponencial:
Queremos encontrar
tal que
.
Configurando a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, vamos resolver para
usando logaritmos:
Isolando
:
Calculando:
Passo 3
Agora, na parte (b), precisamos encontrar o fator Q do oscilador. O fator Q é uma medida de quão “apertada” é a ressonância do oscilador, relacionado ao amortecimento.
A relação entre o fator Q e a perda de energia por ciclo (
) é dada por:
Aqui,
(já que perde 2% por ciclo).
Então:
Passo 4
Finalmente, na parte ©, queremos encontrar a largura da curva de ressonância (
) quando a frequência natural é 100 Hz.
A largura
em Hz está relacionada ao fator Q e à frequência natural
pela fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
(a) São necessários aproximadamente 34 ciclos para que a energia original seja reduzida à metade.
(b) O fator
do oscilador é aproximadamente 157,08.
© A largura da curva de ressonância é cerca de 0,637 Hz.