Uma bola de 20 kg está pendurada num fio de aço de
de diâmetro e
de comprimento. A freqüência das oscilações verticais do sistema é
. (a) Achar a constante de força do fio de aço
. (b) Mostrar que o módulo de Young do fio de aço está relacionado à constante de força por
. © Achar o módulo de Young deste fio.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bola de 20 kg pendurada em um fio de aço que tem 1,00 mm de diâmetro e 3,00 m de comprimento. A frequência das oscilações verticais é de 8,14 Hz. Vamos precisar usar conceitos de física sobre oscilações e propriedades dos materiais, como o módulo de Young. Para resolver, vamos calcular a constante de força do fio, mostrar a relação entre o módulo de Young e essa constante, e finalmente encontrar o valor do módulo de Young do fio.
Passo 2
Item (a): Encontrar a constante de força do fio de aço
.
Primeiro, vamos lembrar que para um sistema massa-mola, a frequência das oscilações é dada por:
Onde:
-
é a frequência, -
é a constante de força, -
é a massa.
Queremos encontrar
, então vamos rearranjar a fórmula:
Agora, substituindo os valores dados:
Calculando:
Primeiro, calculamos
:
Agora, elevamos ao quadrado:
Então:
Passo 3
Item (b): Mostrar que o módulo de Young
está relacionado à constante de força por
.
Vamos entender o que é o módulo de Young. Ele mede a rigidez de um material, ou seja, como ele se deforma sob tensão. A relação entre a força aplicada, a área da seção transversal, o comprimento do material e o módulo de Young é dada por:
Onde:
-
é a força, -
é o comprimento, -
é a área da seção transversal, -
é a deformação.
No nosso caso, o fio de aço está atuando como uma mola. A constante de força
é definida pela relação:
Substituindo
na equação do módulo de Young:
Portanto, mostramos que:
Passo 4
Item ©: Encontrar o módulo de Young
deste fio.
Já sabemos que:
Temos
(do item a),
, e precisamos encontrar a área da seção transversal
.
Dado o diâmetro do fio
, a área da seção transversal para um fio circular é:
Agora, substituindo na equação do módulo de Young:
Calculando:
Resposta
O módulo de Young do fio de aço é aproximadamente
.