Uma bola de 20 kg está pendurada num fio de aço de 1,00 mm de diâmetro e 3,00 m de comprimento. A freqüência das oscilações verticais do sistema é 8,14 Hz. (a) Achar a constante de força do fio de aço k. (b) Mostrar que o módulo de Young do fio de aço está relacionado à constante de força por Y=k L A. © Achar o módulo de Young deste fio.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bola de 20 kg pendurada em um fio de aço que tem 1,00 mm de diâmetro e 3,00 m de comprimento. A frequência das oscilações verticais é de 8,14 Hz. Vamos precisar usar conceitos de física sobre oscilações e propriedades dos materiais, como o módulo de Young. Para resolver, vamos calcular a constante de força do fio, mostrar a relação entre o módulo de Young e essa constante, e finalmente encontrar o valor do módulo de Young do fio.

Passo 2

Item (a): Encontrar a constante de força do fio de aço f = 12pi raizkm .
Primeiro, vamos lembrar que para um sistema massa-mola, a frequência das oscilações é dada por:
k = (2pi f)^2 cdot m
Onde:
  • f = 8,14 , Hz m = 20 , kg é a frequência,
  • k = (2 pi times 8,14)^2 times 20 é a constante de força,
  • 2pi times 8,14 approx 51,11 é a massa.
Queremos encontrar 51,11^2 approx 2612,21 , então vamos rearranjar a fórmula:
k = 2612,21 times 20 approx 52.244,2 , N/m
Agora, substituindo os valores dados:
Calculando:
Primeiro, calculamos :
Agora, elevamos ao quadrado:
Então:

Passo 3

Item (b): Mostrar que o módulo de Young Y = F LA De está relacionado à constante de força por F = k De.
Vamos entender o que é o módulo de Young. Ele mede a rigidez de um material, ou seja, como ele se deforma sob tensão. A relação entre a força aplicada, a área da seção transversal, o comprimento do material e o módulo de Young é dada por:
Y = k De
Onde:
  • Y = k L A é a força,
  • é o comprimento,
  • é a área da seção transversal,
  • é a deformação.
No nosso caso, o fio de aço está atuando como uma mola. A constante de força é definida pela relação:
Substituindo na equação do módulo de Young:
Portanto, mostramos que:

Passo 4

Item ©: Encontrar o módulo de Young Y = k L A deste fio.
Já sabemos que:
A = pi ( d2 )^2 = pi ( 1,00 times 10^-32 )^2 = pi times (0,5 times 10^-3)^2 = pi times 0,25 times 10^-6 approx 7,85 times 10^-7 , m^2
Temos Y = 52.244,2 , N/m times 3,00 , m times 7,85 times 10^-7 , m^2 (do item a), Y = 52.244,2 times 3 times 7,85 times 10^-7 approx 52.244,2 times 23,55 times 10^-7 approx 1.230.000 times 10^-7 , Pa = 1,23 times 10^11 , Pa , e precisamos encontrar a área da seção transversal .
Dado o diâmetro do fio , a área da seção transversal para um fio circular é:
Agora, substituindo na equação do módulo de Young:
Calculando:

Resposta

O módulo de Young do fio de aço é aproximadamente .

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