Um corpo de , quando está pendurado em equilíbrio, estica uma mola de em relação ao seu comprimento natural. O corpo oscila preso à mola com uma amplitude de . Achar (a) a energia total do sistema. No deslocamento máximo para baixo achar a energia potencial gravitacional e © a energia potencial da mola. (d) Qual a energia cinética máxima do corpo? (Escolher quando o corpo estiver em equilíbrio.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um corpo de que estica uma mola em quando está em equilíbrio. Esse corpo oscila na mola com uma amplitude de . Vamos usar conceitos de energia mecânica em sistemas massa-mola para resolver as partes (a) a (d). Vamos precisar das fórmulas de energia potencial elástica, energia potencial gravitacional e energia cinética.

Passo 2

Para encontrar a energia total do sistema (parte a), precisamos saber que, em oscilações harmônicas simples, a energia total é a soma das energias cinética e potencial, e essa energia total permanece constante. A fórmula para a energia total é:
onde é a constante da mola e é a amplitude da oscilação.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar a constante da mola . Sabemos que em equilíbrio, a força da mola equilibra o peso do corpo:
Rearranjando para :
Substituindo os valores (lembrando de converter centímetros para metros):

Passo 4

Agora que temos , podemos calcular a energia total do sistema usando a amplitude :
Calculando:

Passo 5

Para a parte (b), queremos a energia potencial gravitacional no deslocamento máximo para baixo. Vamos escolher no equilíbrio, então quando o corpo está deslocado para baixo, a energia potencial gravitacional é:
onde é o deslocamento adicional além do equilíbrio. Aqui, .
Então:

Passo 6

Na parte ©, queremos a energia potencial da mola no deslocamento máximo. A energia potencial elástica da mola é dada por:
Usando e :

Passo 7

Finalmente, para a parte (d), queremos a energia cinética máxima do corpo. Sabemos que a energia total é a soma da energia potencial elástica e da energia cinética. No ponto de máxima compressão ou alongamento, a energia cinética é zero e toda a energia está na forma de energia potencial. Portanto, a energia cinética máxima ocorre quando toda a energia está na forma de energia potencial gravitacional. Contudo, devido à escolha de no equilíbrio, a energia cinética máxima será igual à energia total do sistema.
éá

Resposta

(a) A energia total do sistema é aproximadamente .
(b) A energia potencial gravitacional no deslocamento máximo para baixo é aproximadamente .
© A energia potencial da mola no deslocamento máximo é aproximadamente .
(d) A energia cinética máxima do corpo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Um relógio de pêndulo, que opera com uma amplitude muito pequena, adianta 5 minutos em cada dia. Qual a amplitude angular que deve ter o pêndulo para manter o tempo correto?
Uma mola de constante está pendurada num suporte rígido. Um corpo de massa 1 kg é preso na extremidade livre da mola e solto em repouso, com a mola no seu comprimento natural. (a) Até onde desce o corpo antes de principiar a subir? (b) A que distância da posição inicial está a posição de equilíbrio do corpo pendurado na mola? © Qual o período de oscilação? (d) Qual a velocidade do corpo ao atingir, pela primeira vez, a sua posição de equilíbrio? Em que instante o corpo atinge, pela primeira vez, a sua posição de equilíbrio?
Um oscilador amortecido perde da sua energia durante cada ciclo. (a) Quantos ciclos se passarão até que a energia original tenha a sua metade dissipada? (b) Qual o fator do oscilador? © Se a freqüência natural for 100 Hz, qual a largura da curva de ressonância quando o oscilador for excitado?
Uma aranha, de massa , está no centro da sua teia horizontal, e cede pela ação do peso do animal. Estimar a freqüência de vibração vertical deste sistema.