Um corpo de
, quando está pendurado em equilíbrio, estica uma mola de
em relação ao seu comprimento natural. O corpo oscila preso à mola com uma amplitude de
. Achar (a) a energia total do sistema. No deslocamento máximo para baixo achar
a energia potencial gravitacional e © a energia potencial da mola. (d) Qual a energia cinética máxima do corpo? (Escolher
quando o corpo estiver em equilíbrio.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um corpo de
que estica uma mola em
quando está em equilíbrio. Esse corpo oscila na mola com uma amplitude de
. Vamos usar conceitos de energia mecânica em sistemas massa-mola para resolver as partes (a) a (d). Vamos precisar das fórmulas de energia potencial elástica, energia potencial gravitacional e energia cinética.
Passo 2
Para encontrar a energia total do sistema (parte a), precisamos saber que, em oscilações harmônicas simples, a energia total é a soma das energias cinética e potencial, e essa energia total permanece constante. A fórmula para a energia total é:
onde
é a constante da mola e
é a amplitude da oscilação.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar a constante da mola
. Sabemos que em equilíbrio, a força da mola equilibra o peso do corpo:
Rearranjando para
:
Substituindo os valores (lembrando de converter centímetros para metros):
Passo 4
Agora que temos
, podemos calcular a energia total do sistema usando a amplitude
:
Calculando:
Passo 5
Para a parte (b), queremos a energia potencial gravitacional no deslocamento máximo para baixo. Vamos escolher
no equilíbrio, então quando o corpo está deslocado para baixo, a energia potencial gravitacional é:
onde
é o deslocamento adicional além do equilíbrio. Aqui,
.
Então:
Passo 6
Na parte ©, queremos a energia potencial da mola no deslocamento máximo. A energia potencial elástica da mola é dada por:
Usando
e
:
Passo 7
Finalmente, para a parte (d), queremos a energia cinética máxima do corpo. Sabemos que a energia total é a soma da energia potencial elástica e da energia cinética. No ponto de máxima compressão ou alongamento, a energia cinética é zero e toda a energia está na forma de energia potencial. Portanto, a energia cinética máxima ocorre quando toda a energia está na forma de energia potencial gravitacional. Contudo, devido à escolha de
no equilíbrio, a energia cinética máxima será igual à energia total do sistema.
Resposta
(a) A energia total do sistema é aproximadamente
.
(b) A energia potencial gravitacional no deslocamento máximo para baixo é aproximadamente
.
© A energia potencial da mola no deslocamento máximo é aproximadamente
.
(d) A energia cinética máxima do corpo é aproximadamente
.
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