Um corpo de 1,5 kg, quando está pendurado em equilíbrio, estica uma mola de 2,8 cm em relação ao seu comprimento natural. O corpo oscila preso à mola com uma amplitude de 2,2 cm. Achar (a) a energia total do sistema. No deslocamento máximo para baixo achar (b) a energia potencial gravitacional e © a energia potencial da mola. (d) Qual a energia cinética máxima do corpo? (Escolher U=0 quando o corpo estiver em equilíbrio.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um corpo de 1,5 , kg que estica uma mola em 2,8 , cm quando está em equilíbrio. Esse corpo oscila na mola com uma amplitude de 2,2 , cm. Vamos usar conceitos de energia mecânica em sistemas massa-mola para resolver as partes (a) a (d). Vamos precisar das fórmulas de energia potencial elástica, energia potencial gravitacional e energia cinética.

Passo 2

Para encontrar a energia total do sistema (parte a), precisamos saber que, em oscilações harmônicas simples, a energia total é a soma das energias cinética e potencial, e essa energia total permanece constante. A fórmula para a energia total é:
Etotal = 12 k A^2
onde k é a constante da mola e A é a amplitude da oscilação.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar a constante da mola k. Sabemos que em equilíbrio, a força da mola equilibra o peso do corpo:
k cdot De
Rearranjando para k:
k = m cdot gDe
Substituindo os valores (lembrando de converter centímetros para metros):
k = 1,5 , kg cdot 9,8 , m/s^20,028 , m approx 525 , N/m

Passo 4

Agora que temos k, podemos calcular a energia total do sistema usando a amplitude A = 0,022 , m:
Etotal = 12 cdot 525 , N/m cdot (0,022 , m)^2
Calculando:
Etotal approx 12 cdot 525 cdot 0,000484 approx 0,127 , J

Passo 5

Para a parte (b), queremos a energia potencial gravitacional no deslocamento máximo para baixo. Vamos escolher U = 0 no equilíbrio, então quando o corpo está deslocado para baixo, a energia potencial gravitacional é:
Ug = m cdot g cdot x
onde x é o deslocamento adicional além do equilíbrio. Aqui, x = A = 0,022 , m.
Então:
Ug = 1,5 , kg cdot 9,8 , m/s^2 cdot 0,022 , m approx 0,323 , J

Passo 6

Na parte ©, queremos a energia potencial da mola no deslocamento máximo. A energia potencial elástica da mola é dada por:
Umola = 12 k x^2
Usando k = 525 , N/m e x = 0,022 , m:
Umola = 12 cdot 525 cdot (0,022)^2 approx 0,127 , J

Passo 7

Finalmente, para a parte (d), queremos a energia cinética máxima do corpo. Sabemos que a energia total é a soma da energia potencial elástica e da energia cinética. No ponto de máxima compressão ou alongamento, a energia cinética é zero e toda a energia está na forma de energia potencial. Portanto, a energia cinética máxima ocorre quando toda a energia está na forma de energia potencial gravitacional. Contudo, devido à escolha de U=0 no equilíbrio, a energia cinética máxima será igual à energia total do sistema.
Ecinética, máx = Etotal = 0,127 , J éá

Resposta

(a) A energia total do sistema é aproximadamente 0,127 , J.
(b) A energia potencial gravitacional no deslocamento máximo para baixo é aproximadamente 0,323 , J.
© A energia potencial da mola no deslocamento máximo é aproximadamente 0,127 , J.
(d) A energia cinética máxima do corpo é aproximadamente 0,127 , J.

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