Um arco metálico fino, mais denso na base que no topo, encontra-se ao longo de uma semicircunferência y^2 + z^2 = 1, z ≥ 0 no plano y z. Encontre o centro de massa do arco se a densidade no ponto (x, y, z) do arco for delta(x, y, z) = 2 - z . R : (0, 0, 0.57).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa de um arco metálico que está mais pesado na base do que no topo. O arco está distribuído ao longo de uma semicircunferência no plano , e a densidade varia com a posição conforme a fórmula . Para isso, vamos usar conceitos de física sobre centro de massa e integração para distribuir a massa ao longo do arco.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o centro de massa de um objeto é o “ponto médio” ponderado pela massa. Como o arco está no plano , a coordenada será sempre zero, já que para todos os pontos do arco. Então, só precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos parametrizar o arco usando um ângulo que vai de a (já que é uma semicircunferência). As coordenadas e em termos de são:
O diferencial de comprimento ao longo do arco é:
Isso porque o raio é 1 e .

Passo 4

A densidade varia com :
A massa total do arco é a integral da densidade ao longo do arco:

Passo 5

Vamos calcular essa integral para achar a massa total:
Então, a massa total é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar e usando as seguintes fórmulas:

Passo 7

Vamos calcular primeiro:
Calculando as integrais:
Então, .

Passo 8

Agora, vamos calcular :
Calculando as integrais:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

O centro de massa do arco é .

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