Um arco metálico fino, mais denso na base que no topo, encontra-se ao longo de uma semicircunferência no plano . Encontre o centro de massa do arco se a densidade no ponto do arco for .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa de um arco metálico que está mais pesado na base do que no topo. O arco está distribuído ao longo de uma semicircunferência no plano , e a densidade varia com a posição conforme a fórmula . Para isso, vamos usar conceitos de física sobre centro de massa e integração para distribuir a massa ao longo do arco.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o centro de massa de um objeto é o “ponto médio” ponderado pela massa. Como o arco está no plano , a coordenada será sempre zero, já que para todos os pontos do arco. Então, só precisamos encontrar e .
Passo 3
Vamos parametrizar o arco usando um ângulo que vai de a (já que é uma semicircunferência). As coordenadas e em termos de são:
O diferencial de comprimento ao longo do arco é:
Isso porque o raio é 1 e .
Passo 4
A densidade varia com :
A massa total do arco é a integral da densidade ao longo do arco:
Passo 5
Vamos calcular essa integral para achar a massa total:
Então, a massa total é .
Passo 6
Agora, vamos encontrar e usando as seguintes fórmulas: