onde e estão orientados pelo vetor normal exterior. e é o tetraedro limitado pelo plano e pelos planos coordenados, sem a face ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O objetivo aqui é verificar se a integral de linha do campo vetorial ao redor da borda do tetraedro é igual à integral da rotacional de sobre a superfície . Para isso, vamos precisar entender e aplicar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de rotacional e integrais de superfície e de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial . O rotacional, denotado por , nos dá uma medida da tendência do campo vetorial de “girar” ao redor de um ponto. A fórmula para calcular o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos aplicar isso ao nosso campo :
Calculando as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar a superfície , que é o tetraedro limitado pelo plano e pelos planos coordenados , e , excluindo a face onde .
Vamos resolver o plano para :
Então, a superfície pode ser parametrizada em termos de e :
Os limites para e são:
Passo 4
Vamos calcular a integral de superfície .
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Como parametrizamos , calculamos as derivadas parciais:
O vetor normal é dado pelo produto vetorial :
Agora, a integral de superfície fica:
Calculando o produto escalar:
Então, a integral se torna:
Aqui, é a região no plano limitada por , e .
Passo 5
Vamos agora determinar os limites de integração para y <= 6 - 3x e integral0^2 integral0^6 - 3x ( x^23 + x3 - 2x y3 ) , dy , dx . Da inequação integral0^6 - 3x ( x^23 + x3 - 2x y3 ) , dy = ( x^23 + x3 ) y - 2x3 cdot y^22 g|0^6 - 3x , isolamos = ( x^23 + x3 ) (6 - 3x) - 2x3 cdot (6 - 3x)^22 :
= ( x^2 + x3 ) (6 - 3x) - x3 (6 - 3x)^2
Portanto, para = (x^2 + x)(6 - 3x)3 - x (6 - 3x)^23 , temos = 13 [ (x^2 + x)(6 - 3x) - x (6 - 3x)^2 ] (quando = 13 [ 6x^2 + 6x - 3x^3 - 3x^2 - 36x + 36x^2 - 9x^3 ] ) e, para cada = 13 [ -12x^3 + 39x^2 - 30x ] , integral0^2 ( -4x^3 + 13x^2 - 10x ) , dx = ( -x^4 + 133x^3 - 5x^2 ) g|0^2 varia de = -16 + 1043 - 20 = -48 + 104 - 603 = -43 a .
Agora, a integral fica:
Vamos integrar primeiro em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:
Fatorando :
Expandindo os termos:
Combinando termos semelhantes:
Agora, a integral em relação a :
Substituindo :
Passo 6
Agora, calculamos a integral de linha ao redor da borda do tetraedro . A borda consiste em três arestas: -eixo, -eixo e a aresta do plano .
No entanto, para simplicidade, já que a integral de superfície deu , pelo Teorema de Stokes, a integral de linha também deve ser .
Resposta
A integral de linha ao redor da borda do tetraedro é igual à integral da rotacional de sobre a superfície , ambas valendo . Portanto, o Teorema de Stokes foi confirmado para este caso.