Em cada caso abaixo, teste o teorema de Stokes
onde
e
estão orientados pelo vetor normal exterior.
e
é o cilindro
, colado à base
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que testa o Teorema de Stokes. A questão nos dá um campo vetorial
e uma superfície
que é um cilindro definido por
entre
e
, com a base colada em
. O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha de
ao longo da fronteira de
com a integral da rotacional de
sobre
. Vamos precisar calcular essas duas integrais para testar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral de linha
. A fronteira
do cilindro é o círculo no topo, onde
. Para parametrizar esse caminho, usamos coordenadas polares:
Derivando em relação a
, temos:
Então,
.
Passo 3
Agora, substituímos
na função
:
Computamos o produto escalar
:
Então, a integral de linha é:
Passo 4
Vamos calcular essa integral. Sabemos que integrals de potências ímpares de seno e cosseno sobre um período completo
são zero:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a rotacional de
, que é
:
Calculando cada componente:
Passo 6
Para a integral da rotacional sobre
, usamos a parametrização do cilindro:
O vetor normal para a superfície lateral do cilindro é
. Então, o elemento de área é:
Passo 7
Agora, calculamos
:
Portanto, a integral da rotacional sobre a superfície lateral é:
Passo 8
Além da superfície lateral do cilindro, temos a base em
. A superfície base tem vetor normal
(apontando para fora). Calculamos
:
A integral sobre a base é:
Como
na base, simplificamos:
Pois, novamente, as integrais de
e
sobre
são zero.
Resposta
Ambas as integrais são iguais a zero, confirmando que o Teorema de Stokes vale para o caso dado.