onde e estão orientados pelo vetor normal exterior. e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para testar o teorema de Stokes. O teorema de Stokes conecta uma integral de linha ao longo da fronteira de uma superfície com uma integral de superfície envolvendo o rotacional do campo vetorial. Aqui, temos o campo e a superfície que é a parte superior da esfera unitária com . Vamos precisar calcular tanto a integral de linha quanto a integral de superfície e verificar se elas são iguais, conforme o teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o teorema de Stokes nos diz. Ele afirma que:
Aqui, é a borda da superfície , e é o rotacional do campo . Nosso objetivo é calcular as duas integrais e verificar se elas são iguais.
Passo 3
Vamos começar calculando o rotacional de . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície . Para isso, precisamos parametrizar a superfície e encontrar o vetor normal .
Como é a parte superior da esfera unitária com , podemos usar coordenadas esféricas ou parametrização direta. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar:
Onde varia de a (já que ) e varia de a .
O vetor normal na superfície esférica é dado por:
Onde é o vetor normal para a superfície, que neste caso é simplesmente o vetor posição unitário .
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar nabla times F = (0, -z, -y) n = (x, y, z) (nabla times F) cdot n = 0 cdot x + (-z) cdot y + (-y) cdot z = -z y - y z = -2 y z :
y = sintheta sinphi z = costheta Rightarrow (nabla times F) cdot n = -2 (sintheta sinphi)(costheta) = -2 sintheta costheta sinphi
Como a integral em integralS (nabla times F) cdot dS = -2 cdot 0 cdot (qualquer coisa) = 0 é zero, a integral de superfície também será zero:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de linha x = cosphi y = sinphi z = 0 . A curva dX = (-sinphi, cosphi, 0) , dphi é a borda de F(x, y, z) = (y^2, x y, x z) = (sin^2phi, cosphi sinphi, 0) , que no caso é o círculo onde F cdot dX = (sin^2phi)(-sinphi) + (cosphi sinphi)(cosphi) + 0 = -sin^3phi + cos^2phi sinphi na esfera unitária. Ou seja, é o círculo unitário no plano ointpartial S F cdot dX = integral0^2pi (-sin^3phi + cos^2phi sinphi) , dphi .
Vamos fazer uma substituição simples: seja , então .
Então,
Avaliação de a :
Resposta
Tanto a integral de linha quanto a integral de superfície resultaram em zero, confirmando que o teorema de Stokes é válido para o campo e a superfície dada.