Em cada caso abaixo, teste o teorema de Stokes
ointpartial S F cdot d X=integralS rot F cdot d S=integralS(nabla times F) cdot d S,
onde partial S e S estão orientados pelo vetor normal exterior.
F(x, y, z)=(y^2, x y, x z) e S: x^2+y^2+z^2=1, z >= 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para testar o teorema de Stokes. O teorema de Stokes conecta uma integral de linha ao longo da fronteira de uma superfície com uma integral de superfície envolvendo o rotacional do campo vetorial. Aqui, temos o campo e a superfície que é a parte superior da esfera unitária com . Vamos precisar calcular tanto a integral de linha quanto a integral de superfície e verificar se elas são iguais, conforme o teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o teorema de Stokes nos diz. Ele afirma que:
ointpartial S F cdot dX = integralS (nabla times F) cdot dS
Aqui, é a borda da superfície , e é o rotacional do campo . Nosso objetivo é calcular as duas integrais e verificar se elas são iguais.

Passo 3

Vamos começar calculando o rotacional de nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) . O rotacional partial F3partial y &= partial (x z)partial y = 0 partial F2partial z &= partial (x y)partial z = 0 partial F1partial z &= partial (y^2)partial z = 0 partial F3partial x &= partial (x z)partial x = z partial F2partial x &= partial (x y)partial x = y partial F1partial y &= partial (y^2)partial y = 2y em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times F = (0 - 0, 0 - z, y - 2y) = (0, -z, -y)
Vamos calcular cada componente:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície x = sintheta cosphi y = sintheta sinphi z = costheta . Para isso, precisamos parametrizar a superfície dS = sintheta , dtheta , dphi , n e encontrar o vetor normal .
Como é a parte superior da esfera unitária com , podemos usar coordenadas esféricas ou parametrização direta. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar:
Onde varia de a (já que ) e varia de a .
O vetor normal na superfície esférica é dado por:
Onde é o vetor normal para a superfície, que neste caso é simplesmente o vetor posição unitário .

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar nabla times F = (0, -z, -y) n = (x, y, z) (nabla times F) cdot n = 0 cdot x + (-z) cdot y + (-y) cdot z = -z y - y z = -2 y z :
y = sintheta sinphi z = costheta Rightarrow (nabla times F) cdot n = -2 (sintheta sinphi)(costheta) = -2 sintheta costheta sinphi
Substituindo nas coordenadas esféricas:
integralS (nabla times F) cdot dS = integral0^2pi integral0^pi2 -2 sintheta costheta sinphi cdot sintheta , dtheta , dphi = -2 integral0^2pi sinphi , dphi integral0^pi2 sin^2theta costheta , dtheta
Então, a integral de superfície fica:
integral0^2pi sinphi , dphi = 0
Primeiro, vamos calcular a integral em :
Pois a função é ímpar e o intervalo é simétrico.

Passo 6

Como a integral em integralS (nabla times F) cdot dS = -2 cdot 0 cdot (qualquer coisa) = 0 é zero, a integral de superfície também será zero:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de linha x = cosphi y = sinphi z = 0 . A curva dX = (-sinphi, cosphi, 0) , dphi é a borda de F(x, y, z) = (y^2, x y, x z) = (sin^2phi, cosphi sinphi, 0) , que no caso é o círculo onde F cdot dX = (sin^2phi)(-sinphi) + (cosphi sinphi)(cosphi) + 0 = -sin^3phi + cos^2phi sinphi na esfera unitária. Ou seja, é o círculo unitário no plano ointpartial S F cdot dX = integral0^2pi (-sin^3phi + cos^2phi sinphi) , dphi .
Vamos parametrizar essa curva como:
Onde varia de a .
O vetor diferencial nessa parametrização é:
Agora, vamos substituir nessa parametrização:
O produto escalar fica:
Assim, a integral de linha é:

Passo 8

Vamos calcular cada parte da integral:
Primeiro, integral0^2pi sin^3phi , dphi = 0 Rightarrow integral0^2pi -sin^3phi , dphi = 0 :
Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:
integral cos^2phi sinphi , dphi = -integral u^2 , du = -u^33 + C = -cos^3phi3 + C
Segundo, [ -cos^3phi3 ]0^2pi = -cos^3(2pi)3 + cos^3(0)3 = -13 + 13 = 0 :
Vamos fazer uma substituição simples: seja , então .
Então,
Avaliação de a :

Resposta

Tanto a integral de linha quanto a integral de superfície resultaram em zero, confirmando que o teorema de Stokes é válido para o campo e a superfície dada.

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