Determine o fluxo de V(x, y, z)=x^2 y i+z^2 k através de S: z=x y ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1. fluxo: integral duplaS V cdot n d S, Resp: 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície definida por para e . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de fluxo em cálculo vetorial, e vamos precisar entender como calcular integrais de superfície e como encontrar o vetor normal à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo “passa” pela superfície. Matemáticamente, é dado pela integral de superfície , onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Para calcular isso, precisamos encontrar o vetor normal nabla F = ( -y, -x, 1 ) à superfície n = nabla F|nabla F| = (-y, -x, 1)raizy^2 + x^2 + 1 . Já que é dada por , podemos reescrever essa equação como . O vetor normal é dado pelo gradiente de , ou seja:
Então, o vetor normal unitário é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar V cdot n = ( x^2 y, 0, z^2 ) cdot ( -y, -x, 1 ) = -x^2 y^2 + z^2 :
V cdot n = -x^2 y^2 + x^2 y^2 = 0
Mas lembrando que na superfície , então . Substituindo isso na expressão:

Passo 5

Como o produto escalar integral duplaS V cdot n , dS = integral duplaS 0 , dS = 0 é zero em toda a superfície , a integral de fluxo será:

Resposta

O fluxo é igual a .

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