Determine o fluxo de
através de
. fluxo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
definida por
para
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de fluxo em cálculo vetorial, e vamos precisar entender como calcular integrais de superfície e como encontrar o vetor normal à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo “passa” pela superfície. Matemáticamente, é dado pela integral de superfície
, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Para calcular isso, precisamos encontrar o vetor normal
à superfície
. Já que
é dada por
, podemos reescrever essa equação como
. O vetor normal é dado pelo gradiente de
, ou seja:
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Mas lembrando que
na superfície
, então
. Substituindo isso na expressão:
Passo 5
Como o produto escalar
é zero em toda a superfície
, a integral de fluxo será:
Resposta
O fluxo é igual a
.