; C é o arco do primeiro quadrante da circunferência
, do ponto sobre o eixo
ao ponto sobre o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial
e uma curva
que é o arco do primeiro quadrante da circunferência
, indo do ponto no eixo
até o ponto no eixo
. Nosso objetivo aqui é calcular a integral de linha de
ao longo de
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como parametrizar a curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Sabemos que
está no primeiro quadrante da circunferência
. No primeiro quadrante, tanto
quanto
são positivos. Vamos usar a parametrização trigonométrica padrão para um círculo:
Como estamos no primeiro quadrante,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
para determinar
. Calculando as derivadas:
Então, o vetor diferencial
é:
Passo 4
Agora vamos substituir a parametrização na função
:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Vamos expandir isso:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, a integral de linha
se torna uma integral em termos de
de
a
:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Podemos usar a substituição
, então
:
Avaliando de
a
:
Segunda integral:
Sabemos que
. Então:
Integrando:
Avaliando de
a
:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Resposta
A integral de linha de
ao longo de
é igual a 18.
Exercícios relacionados
Determine
.
9.
9.
Determine a massa e o
do sólido
limitado pelo paraboloide
pelo plano
se
tem densidade constante
Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
21.
21.
Obtenha a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de
no ponto
da curva.
24.
24.