; C é o arco do primeiro quadrante da circunferência , do ponto sobre o eixo ao ponto sobre o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial e uma curva que é o arco do primeiro quadrante da circunferência , indo do ponto no eixo até o ponto no eixo . Nosso objetivo aqui é calcular a integral de linha de ao longo de , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como parametrizar a curva .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Sabemos que está no primeiro quadrante da circunferência . No primeiro quadrante, tanto quanto são positivos. Vamos usar a parametrização trigonométrica padrão para um círculo:
Como estamos no primeiro quadrante, varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e para determinar . Calculando as derivadas:
Então, o vetor diferencial é:

Passo 4

Agora vamos substituir a parametrização na função :
Substituindo e :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Vamos expandir isso:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, a integral de linha se torna uma integral em termos de de a :
Vamos separar essa integral em duas partes:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Podemos usar a substituição , então :
Avaliando de a :
Segunda integral:
Sabemos que . Então:
Integrando:
Avaliando de a :

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas integrais:

Resposta

A integral de linha de ao longo de é igual a 18.

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