Obtenha a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de r(t) no ponto P0 da curva.
24. r(t) = 4 cos(t) i - 3t j ; P0(2, -pi)

Passo 1

Beleza! O exercício quer a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto . Vamos usar cálculo vetorial para achar essa reta tangente. Precisamos encontrar a derivada de r(t) para obter o vetor diretor da reta no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de t que corresponde ao ponto . As componentes de r(t) são:
Igualando às coordenadas de P0:
Então, o valor de t no ponto P0 é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de r(t) para encontrar o vetor diretor da reta tangente:
Derivando em relação a t:

Passo 4

Vamos avaliar no valor :
Sabendo que :
Este é o vetor diretor da reta tangente no ponto P0.

Passo 5

Agora, vamos usar a forma vetorial da reta:
Onde:
  • é o vetor posição do ponto P0:
  • v é o vetor diretor que encontramos:
  • lambda é um parâmetro real
Substituindo os valores:

Resposta

A equação vetorial da reta tangente é:

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