Obtenha a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto da curva.
24.

Passo 1

Beleza! O exercício quer a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto . Vamos usar cálculo vetorial para achar essa reta tangente. Precisamos encontrar a derivada de para obter o vetor diretor da reta no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de que corresponde ao ponto . As componentes de são:
Igualando às coordenadas de :
Então, o valor de no ponto é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de para encontrar o vetor diretor da reta tangente:
Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar no valor :
Sabendo que :
Este é o vetor diretor da reta tangente no ponto .

Passo 5

Agora, vamos usar a forma vetorial da reta:
Onde:
  • é o vetor posição do ponto :
  • é o vetor diretor que encontramos:
  • é um parâmetro real
Substituindo os valores:

Resposta

A equação vetorial da reta tangente é:

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21.
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33.
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