Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de no ponto em que .
21.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de uma função vetorial no ponto onde . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais para achar a reta tangente. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar o vetor direção da tangente e, em seguida, usar as coordenadas do ponto correspondente a para montar as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial dada:
E o valor de é:

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, precisamos do vetor posição no ponto e do vetor derivada (que nos dá a direção da tangente). Vamos calcular substituindo na função:
Simplificando:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da função para encontrar o vetor velocidade, que será o vetor direção da reta tangente:
Calculando cada componente:
Então, a derivada fica:

Passo 5

Vamos agora avaliar a derivada no ponto :
Substituindo os valores das funções trigonométricas:
Portanto:

Passo 6

Agora que temos o ponto de tangência e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto com vetor direção é:
Onde é o parâmetro da reta.

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos:
Ponto de tangência:
Vetor direção:
Então, as equações paramétricas ficam:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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