Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de r(t) no ponto em que t=t0.
21. r(t)=2 cos pi t 1+2 sen pi t j+3 t k ; t0=1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de uma função vetorial r(t) no ponto onde t = t0. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais para achar a reta tangente. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função r(t) para encontrar o vetor direção da tangente e, em seguida, usar as coordenadas do ponto correspondente a t0 para montar as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial dada:
r(t) = 2 cos(pi t) , i + 2 sin(pi t) , j + 3 t , k
E o valor de t0 é:
t0 = 13

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, precisamos do vetor posição no ponto t0 e do vetor derivada (que nos dá a direção da tangente). Vamos calcular r(t0) substituindo t0 na função:
r(13) = 2 cos(pi cdot 13) , i + 2 sin(pi cdot 13) , j + 3 cdot 13 , k
Simplificando:
cos(pi3) = 12, sin(pi3) = raiz32, 3 cdot 13 = 1
Então:
r(13) = 2 cdot 12 , i + 2 cdot raiz32 , j + 1 , k = i + raiz3 , j + k

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da função r(t) para encontrar o vetor velocidade, que será o vetor direção da reta tangente:
r'(t) = ddt[2 cos(pi t) , i + 2 sin(pi t) , j + 3 t , k]
Calculando cada componente:
ddt[2 cos(pi t)] = -2 pi sin(pi t)
ddt[2 sin(pi t)] = 2 pi cos(pi t)
ddt[3 t] = 3
Então, a derivada fica:
r'(t) = -2 pi sin(pi t) , i + 2 pi cos(pi t) , j + 3 , k

Passo 5

Vamos agora avaliar a derivada no ponto t0 = 13:
r'(13) = -2 pi sin(pi cdot 13) , i + 2 pi cos(pi cdot 13) , j + 3 , k
Substituindo os valores das funções trigonométricas:
sin(pi3) = raiz32, cos(pi3) = 12
Portanto:
r'(13) = -2 pi cdot raiz32 , i + 2 pi cdot 12 , j + 3 , k = -pi raiz3 , i + pi , j + 3 , k

Passo 6

Agora que temos o ponto de tangência r(13) e o vetor direção r'(13), podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto (x0, y0, z0) com vetor direção (a, b, c) é:
x = x0 + a lambda
y = y0 + b lambda
z = z0 + c lambda
Onde lambda é o parâmetro da reta.

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos:
Ponto de tangência:
x0 = 1, y0 = raiz3, z0 = 1
Vetor direção:
a = -pi raiz3, b = pi, c = 3
Então, as equações paramétricas ficam:
x = 1 - pi raiz3 , lambda
y = raiz3 + pi , lambda
z = 1 + 3 , lambda

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:
x = 1 - pi raiz3 , lambda y = raiz3 + pi , lambda z = 1 + 3 , lambda

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