Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de uma função vetorial
no ponto onde
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais para achar a reta tangente. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função
para encontrar o vetor direção da tangente e, em seguida, usar as coordenadas do ponto correspondente a
para montar as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial dada:
E o valor de
é:
Passo 3
Para encontrar a reta tangente, precisamos do vetor posição no ponto
e do vetor derivada (que nos dá a direção da tangente). Vamos calcular
substituindo
na função:
Simplificando:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada da função
para encontrar o vetor velocidade, que será o vetor direção da reta tangente:
Calculando cada componente:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Vamos agora avaliar a derivada no ponto
:
Substituindo os valores das funções trigonométricas:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos o ponto de tangência
e o vetor direção
, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto
com vetor direção
é:
Onde
é o parâmetro da reta.
Passo 7
Substituindo os valores que encontramos:
Ponto de tangência:
Vetor direção:
Então, as equações paramétricas ficam:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente são: