Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de no ponto em que .
21.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de uma função vetorial no ponto onde . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais para achar a reta tangente. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar o vetor direção da tangente e, em seguida, usar as coordenadas do ponto correspondente a para montar as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial dada:
E o valor de é:
Passo 3
Para encontrar a reta tangente, precisamos do vetor posição no ponto e do vetor derivada (que nos dá a direção da tangente). Vamos calcular substituindo na função:
Simplificando:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada da função para encontrar o vetor velocidade, que será o vetor direção da reta tangente:
Calculando cada componente:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Vamos agora avaliar a derivada no ponto :
Substituindo os valores das funções trigonométricas:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos o ponto de tangência e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto com vetor direção é: