Determine a massa e o do sólido limitado pelo paraboloide pelo plano se tem densidade constante

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa encontrar a massa e o centro de massa (CM) de um sólido que é limitado por um paraboloide e pelo plano (com ). A densidade desse sólido é constante, igual a . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais múltiplas para encontrar massa e centro de massa. Vamos precisar montar integrais para calcular a massa total e as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa do sólido. Como a densidade é constante ( ), a massa é dada pela integral da densidade sobre o volume :
Então, precisamos calcular o volume do sólido .

Passo 3

Para calcular o volume do sólido, vamos usar coordenadas cilíndricas porque a região é simétrica em torno do eixo . Nas coordenadas cilíndricas, as equações ficam:
O limite para é onde as duas superfícies se encontram:
Portanto, os limites de integração são:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para o volume:
Integrando em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna:
Integrando termo a termo:
Avaliado de a :

Passo 6

Agora, vamos integrar em :

Passo 7

Com o volume calculado, podemos encontrar a massa :

Passo 8

Agora, vamos encontrar o centro de massa . Pela simetria do sólido, sabemos que e . Vamos calcular :

Passo 9

Vamos calcular a integral :
Integrando em :
Então, a integral fica:

Passo 10

Resolvendo a integral interna:
Avaliado:

Passo 11

Integrando em :

Passo 12

Agora, calculamos :

Resposta

A massa do sólido é e o centro de massa está em .

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