Determine a massa e o do sólido limitado pelo paraboloide pelo plano se tem densidade constante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa encontrar a massa e o centro de massa (CM) de um sólido que é limitado por um paraboloide e pelo plano (com ). A densidade desse sólido é constante, igual a . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais múltiplas para encontrar massa e centro de massa. Vamos precisar montar integrais para calcular a massa total e as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a massa do sólido. Como a densidade é constante (), a massa é dada pela integral da densidade sobre o volume :
Então, precisamos calcular o volume do sólido .
Passo 3
Para calcular o volume do sólido, vamos usar coordenadas cilíndricas porque a região é simétrica em torno do eixo . Nas coordenadas cilíndricas, as equações ficam:
O limite para é onde as duas superfícies se encontram:
Portanto, os limites de integração são:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral para o volume:
Integrando em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna:
Integrando termo a termo:
Avaliado de a :
Passo 6
Agora, vamos integrar em :
Passo 7
Com o volume calculado, podemos encontrar a massa :
Passo 8
Agora, vamos encontrar o centro de massa . Pela simetria do sólido, sabemos que e . Vamos calcular :