q)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente a derivação de funções trigonométricas inversas e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar o arco seno e aplicar a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada de em relação a . A fórmula é:
Isso significa que, se temos uma função dentro do arco seno, vamos precisar usar essa fórmula para encontrar a derivada.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro do arco seno é . Para aplicar a regra da cadeia, vamos precisar encontrar a derivada de em relação a . Vamos lá:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é:
Substituindo e na expressão:

Passo 5

Vamos simplificar o denominador agora. Primeiro, expandimos :
Subtraindo isso de 1:
Podemos reescrever a expressão:

Passo 6

Agora, substituímos de volta no denominador:

Resposta

A derivada da função é:

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m)
k)
t)
z)