z) f(x) = ln(arccos(x)) f'(x) = -1/(arccos(x) * raiz(1 - x^2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a sua derivada, que é . Isso entra no conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente no cálculo de derivadas usando a Regra da Cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar funções compostas, como o logaritmo natural e a função arccoseno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função . Aqui, temos uma função logaritmo natural ( ) que está “dentro” da função arccoseno ( ). Para derivar isso, usamos a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra.

Passo 3

A Regra da Cadeia diz que, se temos uma função composta , a derivada é:
No nosso caso, e . Então, precisamos achar a derivada de em relação a e a derivada de em relação a .

Passo 4

Primeiro, vamos derivar :
Agora, derivamos :
Essa fórmula é padrão e vem do estudo das derivadas das funções trigonométricas inversas.

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, juntamos as duas derivadas:
Simplificando, temos:

Resposta

Então, a derivada da função é:

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