k)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A função que estamos olhando é
. A tarefa é encontrar a derivada dessa função, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo para lidar com funções compostas, além de saber como derivar funções trigonométricas como a secante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia. Ela diz que se temos uma função composta, digamos
, então a derivada de
em relação a
é
. Isso significa que vamos derivar a função externa mantendo a interna igual e depois multiplicar pela derivada da função interna.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia na nossa função
, vamos identificar as partes. Aqui, a função externa é
e a função interna é
. Então, temos que:
Passo 4
Vamos primeiro derivar a função externa
. Usando a regra do expoente, a derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos derivar a função interna
. A derivada de
é:
Passo 6
Juntando tudo usando a regra da cadeia, temos:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão multiplicando os coeficientes:
Passo 8
Então, a derivada final da função
é:
Resposta
A derivada de
é:
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f)
a)
m)
q)