arcsen x=x+sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1) x^2 n+1n!(2 n+1) 2^n, |x|<1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função arco seno ( arcsin x = x + sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) , x^2n+1n! , (2n+1) , 2^n, |x| < 1 ) expressa como uma série infinita:
Nosso objetivo aqui é entender como chegar nessa expressão passo a passo. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e a expansão em série de Taylor de funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela permite que a gente escreva uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, vamos expandir a função f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + cdots em torno de .
A fórmula geral da série de Taylor para uma função em (também chamada de série de Maclaurin) é:
Vamos aplicar isso para .

Passo 3

Primeiro, calculamos f(0) = arcsin 0 = 0 :
f'(x) = ddx (arcsin x) = 1raiz1 - x^2
Então, o primeiro termo da série é zero. Agora, vamos encontrar a primeira derivada de f'(0) = 1raiz1 - 0 = 1 :
f'(0)x = 1 cdot x = x
Agora, avaliamos em arcsin x = x + cdots :
Portanto, o próximo termo da série é:
Até agora, temos:

Passo 4

Vamos continuar calculando as próximas derivadas para encontrar os termos seguintes da série.
A segunda derivada de f''(x) = ddx ( 1raiz1 - x^2 ) = x(1 - x^2)^3/2 é:
f''(0) = 0
Avaliando em :
Portanto, o termo com é zero.

Passo 5

Agora, vamos para a terceira derivada:
f'''(x) = ddx ( x(1 - x^2)^3/2 ) = (1 - x^2)^3/2 - x cdot ( -3x (1 - x^2)^1/2 )(1 - x^2)^3 = 1 + 2x^2(1 - x^2)^5/2
Avaliando em f'''(0) = 1 :
f'''(0)3!x^3 = 16x^3
Então, o termo com arcsin x = x + 16x^3 + cdots é:
A série agora fica:

Passo 6

Continuando esse processo de derivação, percebemos que as derivadas pares sempre resultam em termos zero e as derivadas ímpares nos dão os coeficientes dos termos de potências ímpares de arcsin x = x + sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) , x^2n+1n! , (2n+1) , 2^n, |x| < 1 .
Após calcular diversas derivadas, podemos identificar um padrão para os coeficientes dos termos . Esse padrão envolve produtos de números ímpares no numerador e fatorial no denominador, além de uma potência de 2.
Assim, a série geral para acaba se tornando:

Resposta

Portanto, a expansão em série de Taylor para a função arco seno é:
arcsin x = x + sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) , x^2n+1n! , (2n+1) , 2^n, |x| < 1

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