Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função arco seno ( ) expressa como uma série infinita:
Nosso objetivo aqui é entender como chegar nessa expressão passo a passo. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e a expansão em série de Taylor de funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela permite que a gente escreva uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, vamos expandir a função em torno de .
A fórmula geral da série de Taylor para uma função em (também chamada de série de Maclaurin) é:
Vamos aplicar isso para .

Passo 3

Primeiro, calculamos :
Então, o primeiro termo da série é zero. Agora, vamos encontrar a primeira derivada de :
Agora, avaliamos em :
Portanto, o próximo termo da série é:
Até agora, temos:

Passo 4

Vamos continuar calculando as próximas derivadas para encontrar os termos seguintes da série.
A segunda derivada de é:
Avaliando em :
Portanto, o termo com é zero.

Passo 5

Agora, vamos para a terceira derivada:
Avaliando em :
Então, o termo com é:
A série agora fica:

Passo 6

Continuando esse processo de derivação, percebemos que as derivadas pares sempre resultam em termos zero e as derivadas ímpares nos dão os coeficientes dos termos de potências ímpares de .
Após calcular diversas derivadas, podemos identificar um padrão para os coeficientes dos termos . Esse padrão envolve produtos de números ímpares no numerador e fatorial no denominador, além de uma potência de 2.
Assim, a série geral para acaba se tornando:

Resposta

Portanto, a expansão em série de Taylor para a função arco seno é:

Exercícios relacionados

Sejam e funções diferenciáveis de . Use o Exercício 54 para mostrar que
  1. Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
    (a) Se a série diverge em , então ela diverge em .
    (b) Se a série converge em , então ela converge em .
    © Se é convergente, então é absolutamente convergente no intervalo .
    (d) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
    (e) Se é o raio de convergência de , então é o raio de convergência de .
    (f) Se , então a série tem raio de convergência .
    (g) Uma série de potências pode convergir apenas em dois valores de .
    (h) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
    (i) Se tem raio de convergência 2 e tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de é .
Calcule as integrais indefinidas utilizando o método de integração por substituição. .
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada de .