Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função arco seno () expressa como uma série infinita:
Nosso objetivo aqui é entender como chegar nessa expressão passo a passo. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e a expansão em série de Taylor de funções. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela permite que a gente escreva uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, vamos expandir a função em torno de .
A fórmula geral da série de Taylor para uma função em (também chamada de série de Maclaurin) é:
Vamos aplicar isso para .
Passo 3
Primeiro, calculamos :
Então, o primeiro termo da série é zero. Agora, vamos encontrar a primeira derivada de :
Agora, avaliamos em :
Portanto, o próximo termo da série é:
Até agora, temos:
Passo 4
Vamos continuar calculando as próximas derivadas para encontrar os termos seguintes da série.
A segunda derivada de é:
Avaliando em :
Portanto, o termo com é zero.
Passo 5
Agora, vamos para a terceira derivada:
Avaliando em :
Então, o termo com é:
A série agora fica:
Passo 6
Continuando esse processo de derivação, percebemos que as derivadas pares sempre resultam em termos zero e as derivadas ímpares nos dão os coeficientes dos termos de potências ímpares de .
Após calcular diversas derivadas, podemos identificar um padrão para os coeficientes dos termos . Esse padrão envolve produtos de números ímpares no numerador e fatorial no denominador, além de uma potência de 2.
Assim, a série geral para acaba se tornando:
Resposta
Portanto, a expansão em série de Taylor para a função arco seno é: