1. Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
    (a) Se a série sum cn x^n diverge em x=2, então ela diverge em x=3.
    (b) Se a série sum cn x^n converge em x=2, então ela converge em x=3.
    © Se sumn=0^infty|cn| é convergente, então sumn=0^infty cn x^n é absolutamente convergente no intervalo [-1,1].
    (d) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
    (e) Se R é o raio de convergência de sumn=0^infty cn x^n, então raizR é o raio de convergência de sumn=0^infty cn x^2 n.
    (f) Se lim n infty raiz[n]|cn|=L>0, então a série sumn=0^infty cn(x-a)^n tem raio de convergência 1 / L.
    (g) Uma série de potências sumn=0^infty cn x^n pode convergir apenas em dois valores de x.
    (h) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
    (i) Se sumn=0^infty cn x^n tem raio de convergência 2 e sumn=0^infty dn x^n tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de sumn=0^infty(cn+dn) x^n é R=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que tem várias afirmações sobre séries de potências. O que a gente vai precisar aqui são conhecimentos sobre convergência de séries, raio de convergência, e como o comportamento das séries muda dependendo do valor de . Vamos analisar cada afirmação uma por uma para ver se são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Item (a): Se a série diverge em , então ela diverge em .
Vamos pensar no raio de convergência dessa série. Se ela diverge em , isso indica que está fora do intervalo de convergência, ou seja, . Como , então , o que quer dizer que a série também diverge em . Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Item (b): Se a série converge em , então ela converge em .
Novamente, considerando o raio de convergência . Se a série converge em , isso significa que . No entanto, não necessariamente está dentro do intervalo de convergência. Por exemplo, se , a série não converge em . Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Item ©: Se é convergente, então é absolutamente convergente no intervalo .
Se a série das magnitudes converge, então para qualquer com , temos , que converge por comparação. Assim, a série é absolutamente convergente em . Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Item (d): Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
Se uma série é absolutamente convergente em um extremo, isso não garante automaticamente que ela seja absolutamente convergente no outro extremo. Um exemplo clássico é a série , que converge absolutamente em mas não em . Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 6

Item (e): Se é o raio de convergência de , então é o raio de convergência de .
Para a série , substituímos , então o raio de convergência em termos de é . Portanto, o raio de convergência em termos de é . Assim, a afirmação é verdadeira.

Passo 7

Item (f): Se , então a série tem raio de convergência .
O raio de convergência de uma série de potências pode ser encontrado usando o limítro . Pelo critério da raiz, . Portanto, a afirmação está correta.

Passo 8

Item (g): Uma série de potências pode convergir apenas em dois valores de .
Isso não é verdade. Uma série de potências tem um intervalo de convergência que pode incluir infinitely muitos valores de . Geralmente, ela converge para todos os dentro do intervalo de convergência, que pode ter múltiplos valores. Portanto, a afirmativa é falsa.

Passo 9

Item (h): Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
Se a série converge em um extremo e diverge no outro, a convergência no extremo onde converge pode ser absoluta ou condicional. A convergência condicional ocorre quando a série converge mas a série das magnitudes não. Contudo, a afirmação generaliza demais, pois a convergência pode ser absoluta também. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 10

Item (i): Se tem raio de convergência 2 e tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de é .
O raio de convergência da soma de duas séries de potências é o mínimo dos raios de convergência individuais. Aqui, . Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) V
(b) F
© V
(d) F
(e) V
(f) V
(g) F
(h) F
(i) V

Exercícios relacionados