- Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
(a) Se a série
diverge em
, então ela diverge em
.
(b) Se a série
converge em
, então ela converge em
.
© Se
é convergente, então
é absolutamente convergente no intervalo
.
(d) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
(e) Se
é o raio de convergência de
, então
é o raio de convergência de
.
(f) Se
, então a série
tem raio de convergência
.
(g) Uma série de potências
pode convergir apenas em dois valores de
.
(h) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
(i) Se
tem raio de convergência 2 e
tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de
é
.
(a) Se a série
(b) Se a série
© Se
(d) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
(e) Se
(f) Se
(g) Uma série de potências
(h) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
(i) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que tem várias afirmações sobre séries de potências. O que a gente vai precisar aqui são conhecimentos sobre convergência de séries, raio de convergência, e como o comportamento das séries muda dependendo do valor de
. Vamos analisar cada afirmação uma por uma para ver se são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Item (a): Se a série
diverge em
, então ela diverge em
.
Vamos pensar no raio de convergência
dessa série. Se ela diverge em
, isso indica que
está fora do intervalo de convergência, ou seja,
. Como
, então
, o que quer dizer que a série também diverge em
. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Item (b): Se a série
converge em
, então ela converge em
.
Novamente, considerando o raio de convergência
. Se a série converge em
, isso significa que
. No entanto,
não necessariamente está dentro do intervalo de convergência. Por exemplo, se
, a série não converge em
. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
Item ©: Se
é convergente, então
é absolutamente convergente no intervalo
.
Se a série das magnitudes
converge, então para qualquer
com
, temos
, que converge por comparação. Assim, a série
é absolutamente convergente em
. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Item (d): Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
Se uma série é absolutamente convergente em um extremo, isso não garante automaticamente que ela seja absolutamente convergente no outro extremo. Um exemplo clássico é a série
, que converge absolutamente em
mas não em
. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 6
Item (e): Se
é o raio de convergência de
, então
é o raio de convergência de
.
Para a série
, substituímos
, então o raio de convergência em termos de
é
. Portanto, o raio de convergência em termos de
é
. Assim, a afirmação é verdadeira.
Passo 7
Item (f): Se
, então a série
tem raio de convergência
.
O raio de convergência
de uma série de potências pode ser encontrado usando o limítro
. Pelo critério da raiz,
. Portanto, a afirmação está correta.
Passo 8
Item (g): Uma série de potências
pode convergir apenas em dois valores de
.
Isso não é verdade. Uma série de potências tem um intervalo de convergência que pode incluir infinitely muitos valores de
. Geralmente, ela converge para todos os
dentro do intervalo de convergência, que pode ter múltiplos valores. Portanto, a afirmativa é falsa.
Passo 9
Item (h): Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
Se a série converge em um extremo e diverge no outro, a convergência no extremo onde converge pode ser absoluta ou condicional. A convergência condicional ocorre quando a série converge mas a série das magnitudes não. Contudo, a afirmação generaliza demais, pois a convergência pode ser absoluta também. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 10
Item (i): Se
tem raio de convergência 2 e
tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de
é
.
O raio de convergência da soma de duas séries de potências é o mínimo dos raios de convergência individuais. Aqui,
. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) V
(b) F
© V
(d) F
(e) V
(f) V
(g) F
(h) F
(i) V
(b) F
© V
(d) F
(e) V
(f) V
(g) F
(h) F
(i) V
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por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração. 46.
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?
Sejam
e
funções diferenciáveis de
. Use o Exercício 54 para mostrar que