Calcule as integrais indefinidas utilizando o método de integração por substituição. integral(3 x^2(x^3+1)^2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando o método de substituição. A gente tem que calcular:
integral (3x^2(x^3+1)^2) dx
Aqui, o conteúdo principal é cálculo integral, especificamente usando a substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a função, vemos que o denominador é u = x^3 + 1 . Vamos chamar essa expressão de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 dx , que é :
Isso significa que:

Passo 4

Perceba que o numerador da nossa integral original é exatamente integral 3x^2(x^3+1)^2 dx = integral duu^2 , que acabamos de relacionar com . Então, podemos reescrever a integral em termos de :

Passo 5

Agora, a integral está mais simples:
integral 1u^2 du
Sabemos que integral u^-2 du = u^-1-1 + C = -1u + C , para . Aqui, , então:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original -1u + C = -1x^3 + 1 + C , substituindo de volta:

Resposta

A integral indefinida é:
-1x^3 + 1 + C

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