Calcule as integrais indefinidas utilizando o método de integração por substituição. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando o método de substituição. A gente tem que calcular:
Aqui, o conteúdo principal é cálculo integral, especificamente usando a substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a função, vemos que o denominador é . Vamos chamar essa expressão de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é :
Isso significa que:

Passo 4

Perceba que o numerador da nossa integral original é exatamente , que acabamos de relacionar com . Então, podemos reescrever a integral em termos de :

Passo 5

Agora, a integral está mais simples:
Sabemos que , para . Aqui, , então:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original , substituindo de volta:

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Sejam e funções diferenciáveis de . Use o Exercício 54 para mostrar que
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada de .
Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado.
(d) ;