Sejam e funções diferenciáveis de . Use o Exercício 54 para mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma matriz 3x3 cujas entradas são funções diferenciáveis de . O exercício quer que a gente mostre como calcular a derivada do determinante dessa matriz. Basicamente, vamos usar as regras de derivação aplicadas a determinantes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como a derivada funciona em combinação com determinantes e como podemos aplicar a regra do produto de forma expandida para matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um determinante. Para uma matriz 3x3:
O determinante dessa matriz é uma combinação das multiplicações das entradas de forma específica. Agora, queremos encontrar a derivada desse determinante em relação a , ou seja, , onde é nossa matriz.
Passo 3
Para derivar o determinante, vamos aplicar uma regra que é parecida com a regra do produto, mas adaptada para determinantes. A ideia é que a derivada do determinante será a soma dos determinantes onde cada linha é derivada individualmente, mantendo as outras linhas intactas.
Isso significa que vamos derivar cada linha da matriz uma de cada vez e calcular o determinante correspondente, depois somar todos esses determinantes.
Passo 4
Vamos aplicar isso passo a passo:
Derivamos a primeira linha em relação a :
Derivamos a segunda linha em relação a :
Derivamos a terceira linha em relação a :
Passo 5
Agora, somamos esses três determinantes derivados:
Resposta
A derivada do determinante é igual à soma dos três determinantes obtidos ao derivar cada linha individualmente: