Sejam u1, u2, u3, v1, v2, v3, w1, w2 e w3 funções diferenciáveis de t. Use o Exercício 54 para mostrar que
& dd t|ccc u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 | & =|lll u1^prime & u2^prime & u3^prime v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 |+|ccc u1 & u2 & u3 v1^prime & v2^prime & v3^prime w1 & w2 & w3 |+|ccc u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1^prime & w2^prime & w3^prime |

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz 3x3 cujas entradas são funções diferenciáveis de . O exercício quer que a gente mostre como calcular a derivada do determinante dessa matriz. Basicamente, vamos usar as regras de derivação aplicadas a determinantes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como a derivada funciona em combinação com determinantes e como podemos aplicar a regra do produto de forma expandida para matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um determinante. Para uma matriz 3x3:
u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3
O determinante dessa matriz é uma combinação das multiplicações das entradas de forma específica. Agora, queremos encontrar a derivada desse determinante em relação a , ou seja, , onde é nossa matriz.

Passo 3

Para derivar o determinante, vamos aplicar uma regra que é parecida com a regra do produto, mas adaptada para determinantes. A ideia é que a derivada do determinante será a soma dos determinantes onde cada linha é derivada individualmente, mantendo as outras linhas intactas.
Isso significa que vamos derivar cada linha da matriz uma de cada vez e calcular o determinante correspondente, depois somar todos esses determinantes.

Passo 4

Vamos aplicar isso passo a passo:
  1. Derivamos a primeira linha u1^prime & u2^prime & u3^prime v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 em relação a u1 & u2 & u3 v1^prime & v2^prime & v3^prime w1 & w2 & w3 :
    u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1^prime & w2^prime & w3^prime
  2. Derivamos a segunda linha em relação a :
  3. Derivamos a terceira linha em relação a :

Passo 5

Agora, somamos esses três determinantes derivados:
ddt| ccc u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 | = | ccc u1^prime & u2^prime & u3^prime v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 | + | ccc u1 & u2 & u3 v1^prime & v2^prime & v3^prime w1 & w2 & w3 | + | ccc u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1^prime & w2^prime & w3^prime |

Resposta

A derivada do determinante é igual à soma dos três determinantes obtidos ao derivar cada linha individualmente:
ddt| ccc u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 | = | ccc u1^prime & u2^prime & u3^prime v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 | + | ccc u1 & u2 & u3 v1^prime & v2^prime & v3^prime w1 & w2 & w3 | + | ccc u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1^prime & w2^prime & w3^prime |

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