Sejam e funções diferenciáveis de . Use o Exercício 54 para mostrar que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz 3x3 cujas entradas são funções diferenciáveis de . O exercício quer que a gente mostre como calcular a derivada do determinante dessa matriz. Basicamente, vamos usar as regras de derivação aplicadas a determinantes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como a derivada funciona em combinação com determinantes e como podemos aplicar a regra do produto de forma expandida para matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um determinante. Para uma matriz 3x3:
O determinante dessa matriz é uma combinação das multiplicações das entradas de forma específica. Agora, queremos encontrar a derivada desse determinante em relação a , ou seja, , onde é nossa matriz.

Passo 3

Para derivar o determinante, vamos aplicar uma regra que é parecida com a regra do produto, mas adaptada para determinantes. A ideia é que a derivada do determinante será a soma dos determinantes onde cada linha é derivada individualmente, mantendo as outras linhas intactas.
Isso significa que vamos derivar cada linha da matriz uma de cada vez e calcular o determinante correspondente, depois somar todos esses determinantes.

Passo 4

Vamos aplicar isso passo a passo:
  1. Derivamos a primeira linha em relação a :
  2. Derivamos a segunda linha em relação a :
  3. Derivamos a terceira linha em relação a :

Passo 5

Agora, somamos esses três determinantes derivados:

Resposta

A derivada do determinante é igual à soma dos três determinantes obtidos ao derivar cada linha individualmente:

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  1. Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
    (a) Se a série diverge em , então ela diverge em .
    (b) Se a série converge em , então ela converge em .
    © Se é convergente, então é absolutamente convergente no intervalo .
    (d) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
    (e) Se é o raio de convergência de , então é o raio de convergência de .
    (f) Se , então a série tem raio de convergência .
    (g) Uma série de potências pode convergir apenas em dois valores de .
    (h) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
    (i) Se tem raio de convergência 2 e tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de é .
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