Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função
usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender esse teorema e aplicar a regra da cadeia para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela diz que se
, então a derivada de
em relação a
é
. Ou seja, a derivada do integral com limite superior
é a própria função integranda avaliada em
.
Passo 3
No nosso caso, a função
tem como limite superior
, que não é apenas
, mas uma função de
. Então, além de aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, precisamos usar a regra da cadeia para derivar essa parte.
Passo 4
Vamos identificar as partes:
- A função dentro do integral é
. - O limite superior é
.
Segundo o Teorema, a derivada de
será
multiplicado pela derivada de
.
Passo 5
Calculando cada parte:
-
. - A derivada de
em relaç��o a é .
Passo 6
Simplificando
:
Sabemos que , porque o logaritmo natural e a função exponencial são inversas.
Sabemos que
Passo 7
Agora, multiplicamos
pela derivada de
:
.
Resposta
A derivada de
é
.
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.
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limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(d) ;
(d)
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.