Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender esse teorema e aplicar a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela diz que se , então a derivada de em relação a é . Ou seja, a derivada do integral com limite superior é a própria função integranda avaliada em .

Passo 3

No nosso caso, a função tem como limite superior , que não é apenas , mas uma função de . Então, além de aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, precisamos usar a regra da cadeia para derivar essa parte.

Passo 4

Vamos identificar as partes:
  • A função dentro do integral é .
  • O limite superior é .
Segundo o Teorema, a derivada de será multiplicado pela derivada de .

Passo 5

Calculando cada parte:
  • .
  • A derivada de em relaç��o a é .

Passo 6

Simplificando :
Sabemos que , porque o logaritmo natural e a função exponencial são inversas.

Passo 7

Agora, multiplicamos pela derivada de :
.

Resposta

A derivada de é .

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(d) ;
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