arctan((2y-2)/(x-2)) = ln(|(x-2)² + 4(y-1)²|) + c

Passo 1

Então, galera, a gente tem essa equação aqui:
O conteúdo principal envolve funções trigonométricas e logaritmos, e vamos precisar manipular essas funções para isolar o . Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos chamar e . Isso nos deixa com:
Isso ajuda a tornar a equação mais limpa e fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos nos livrar do arco-tangente para facilitar. Lembrando que se , então . Aplicando isso:
Isso nos dá uma relação direta entre e .

Passo 4

Para simplificar ainda mais, vamos considerar que é uma constante e podemos absorvê-la na função tangente. Assim, reescrevemos:
onde é uma nova constante. Isso nos ajuda a visualizar melhor a relação entre e .

Passo 5

Agora, para isolar , vamos supor que a relação pode ser expressa de forma explícita. No entanto, devido à natureza da equação, é mais prático mantê-la implícita. Portanto, a solução geral da equação é:
Isso significa que está relacionado a pela equação acima, e qualquer função que satisfaça essa relação é uma solução da equação diferencial original.

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados