arctan((2y-2)/(x-2)) = ln(|(x-2)² + 4(y-1)²|) + c

Passo 1

Então, galera, a gente tem essa equação aqui:
O conteúdo principal envolve funções trigonométricas e logaritmos, e vamos precisar manipular essas funções para isolar o . Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos chamar e . Isso nos deixa com:
Isso ajuda a tornar a equação mais limpa e fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos nos livrar do arco-tangente para facilitar. Lembrando que se , então . Aplicando isso:
Isso nos dá uma relação direta entre e .

Passo 4

Para simplificar ainda mais, vamos considerar que é uma constante e podemos absorvê-la na função tangente. Assim, reescrevemos:
onde é uma nova constante. Isso nos ajuda a visualizar melhor a relação entre e .

Passo 5

Agora, para isolar , vamos supor que a relação pode ser expressa de forma explícita. No entanto, devido à natureza da equação, é mais prático mantê-la implícita. Portanto, a solução geral da equação é:
Isso significa que está relacionado a pela equação acima, e qualquer função que satisfaça essa relação é uma solução da equação diferencial original.

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Classifique cada uma das EDP partial^2 upartial x^2+2 partial^2 upartial y partial x+partial^2 upartial y^2+partial upartial x-partial upartial y=0;
Utilize separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções da forma de produto para cada EDP a seguir (Considere, quando necessário k>0 ).
partial upartial x=partial upartial y;
Uma haste,presa na origem do plano x y,ocupa a posição da reta que faz um ângulo de theta radianos com o eixo positivo dos x. A haste intercepta a reta y = 2 a no ponto A e a circunferência x^2 + (y - a)^2 = a^2 no ponto B (figura 1.10). Quando theta varia, o vértice P do triângulo retângulo A P B descreve uma curva chamada curva de Agnesi.
a) Mostre que
sigma(theta) = (2a cotg(theta), 2a sen^2(theta)), 0 < theta < pi
é uma parametrização da curva de Agnesi, em função do parâmetro theta.
b) Faça um esboço desta curva.
c) Determine sua equação cartesiana.
Figura 1.10
Utilize separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções da forma de produto para cada EDP a seguir (Considere, quando necessário k>0 ).
partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial y^2=u.