Classifique cada uma das EDP partial^2 upartial x^2+2 partial^2 upartial y partial x+partial^2 upartial y^2+partial upartial x-partial upartial y=0;

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial parcial do segundo grau e precisa classificar ela. Isso quer dizer que vamos descobrir se a equação é elíptica, hiperbólica ou parabólica. Para isso, vamos identificar alguns coeficientes na equação e calcular um valor chamado discriminante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. A equação dada é:
partial^2 upartial x^2 + 2 partial^2 upartial y partial x + partial^2 upartial y^2 + partial upartial x - partial upartial y = 0
Aqui, comparando com a forma geral:
A partial^2 upartial x^2 + 2B partial^2 upartial y partial x + C partial^2 upartial y^2 + termos de primeira ordem = 0
A gente identifica que:
  • então

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante da equação, que é dado por:
De
Substituindo os valores que encontramos:
De

Passo 4

Com o valor do discriminante, a gente classifica a equação da seguinte forma:
  • Se , a equação é hiperbólica
  • Se , a equação é parabólica
  • Se , a equação é elíptica
No nosso caso, , então a equação é parabólica.

Resposta

A equação dada é parabólica.

Exercícios relacionados

Utilize separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções da forma de produto para cada EDP a seguir (Considere, quando necessário k>0 ).
partial upartial x=partial upartial y;
Classifique cada uma das EDP partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y partial x+partial^2 upartial y^2=0;
arctan((2y-2)/(x-2)) = ln(|(x-2)² + 4(y-1)²|) + c
Uma haste,presa na origem do plano x y,ocupa a posição da reta que faz um ângulo de theta radianos com o eixo positivo dos x. A haste intercepta a reta y = 2 a no ponto A e a circunferência x^2 + (y - a)^2 = a^2 no ponto B (figura 1.10). Quando theta varia, o vértice P do triângulo retângulo A P B descreve uma curva chamada curva de Agnesi.
a) Mostre que
sigma(theta) = (2a cotg(theta), 2a sen^2(theta)), 0 < theta < pi
é uma parametrização da curva de Agnesi, em função do parâmetro theta.
b) Faça um esboço desta curva.
c) Determine sua equação cartesiana.
Figura 1.10