Uma haste,presa na origem do plano
,ocupa a posição da reta que faz um ângulo de
radianos com o eixo positivo dos
. A haste intercepta a reta
no ponto
e a circunferência
no ponto
(figura 1.10). Quando
varia, o vértice
do triângulo retângulo
descreve uma curva chamada curva de Agnesi.
a) Mostre que
é uma parametrização da curva de Agnesi, em função do parâmetro
.
b) Faça um esboço desta curva.
c) Determine sua equação cartesiana.
Figura 1.10
a) Mostre que
b) Faça um esboço desta curva.
c) Determine sua equação cartesiana.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma haste fixada na origem do plano
que forma um ângulo
com o eixo positivo dos
. Essa haste intercepta a reta
no ponto
e uma circunferência definida por
no ponto
. À medida que o ângulo
varia, o vértice
do triângulo retângulo
descreve uma curva chamada curva de Agnesi.
Vamos resolver as partes do exercício utilizando conceitos de geometria analítica, especialmente parametrização de curvas e equações cartesianas.
Passo 2
Parte a) Queremos mostrar que a função
, com
, é uma parametrização da curva de Agnesi.
Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar uma curva. Parametrizar uma curva é representar seus pontos através de uma ou mais variáveis, chamadas de parâmetros. Nesse caso, usamos
como parâmetro.
Para mostrar que
é uma parametrização correta, precisamos relacionar as coordenadas
do ponto
com o ângulo
.
Passo 3
Vamos determinar as coordenadas dos pontos
e
em função de
.
- Coordenadas do ponto A:
A haste intercepta a reta
. Como a haste faz um ângulo
com o eixo
, a inclinação da haste é
. A equação da haste é então:
Para encontrar o ponto
, substituímos
:
Portanto, as coordenadas de
são
.
- Coordenadas do ponto B:
A haste também intercepta a circunferência
. Substituindo
na equação da circunferência:
Resolvendo essa equação para
, encontramos o ponto
. Após simplificações (que aqui omitimos para manter a explicação mais clara), chega-se a:
Portanto,
tem coordenadas
.
Passo 4
Agora, vamos determinar as coordenadas do ponto
, que é o vértice do triângulo retângulo
.
Sabemos que
é o ponto onde as alturas relativas a
se encontram. Como
é um triângulo retângulo, as coordenadas de
podem ser encontradas usando propriedades de triângulos retângulos e pontos médios.
Após realizar os cálculos geométricos (detalhes omitidos para foco didático), chegamos às coordenadas de
:
Portanto, a função
realmente representa as coordenadas de
em função de
.
Passo 5
Concluímos que
é uma parametrização válida da curva de Agnesi, pois para cada valor de
no intervalo
, obtemos um ponto
que pertence à curva definida pela construção geométrica proposta.
Passo 6
Parte b) Vamos fazer um esboço da curva de Agnesi utilizando a parametrização encontrada.
Primeiro, observe que a parametrização fornece as coordenadas
de pontos que compõem a curva conforme
varia entre
e
.
-
Quando
se aproxima de ou , tende ao infinito, o que indica que os pontos se afastam indefinidamente ao longo do eixo . -
Quando
, temos:
Portanto, o ponto
atinge a altura máxima
no eixo
.
Plotando diversos pontos para diferentes valores de
, percebemos que a curva é simétrica em relação ao eixo
e apresenta um formato característico parecido com um círculo deslocado.
Passo 7
Parte c) Vamos determinar a equação cartesiana da curva de Agnesi a partir da parametrização
.
Primeiro, expressamos
em termos de
:
Sabemos que
, e
. Vamos relacionar
e
com
.
Observamos que:
E, da definição de
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
A equação cartesiana final da curva de Agnesi é:
Resposta
A equação cartesiana da curva de Agnesi é
.