Utilize separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções da forma de produto para cada EDP a seguir (Considere, quando necessário k>0 ).
partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial y^2=u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar separação de variáveis para achar soluções na forma de produto para a equação diferencial parcial dada:
partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial y^2 = u
Isso significa que vamos tentar expressar como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais parciais e separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como:
u(x, y) = F(x) cdot G(y)
Aqui, é uma função que depende só de e depende só de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = F'(x) cdot G(y) em relação a partial^2 upartial x^2 = F''(x) cdot G(y) e partial upartial y = F(x) cdot G'(y) :
partial^2 upartial y^2 = F(x) cdot G''(y)

Passo 4

De acordo com o enunciado, temos:
partial^2 upartial x^2 = u e partial^2 upartial y^2 = u
Substituindo F''(x) cdot G(y) = F(x) cdot G(y) nas equações:
F(x) cdot G''(y) = F(x) cdot G(y)

Passo 5

Vamos simplificar as equações dividindo cada uma por F''(x)F(x) = 1 (supondo que G''(y)G(y) = 1 ):
Perceba que cada lado da igualdade depende apenas de uma variável. Isso só é possível se ambas forem iguais a uma constante, digamos .

Passo 6

Então, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Para F''(x) - F(x) = 0 :
G''(y) - G(y) = 0
E para :

Passo 7

Vamos resolver a equação para F(x) = C1 e^x + C2 e^-x :
A equação diferencial é uma equação linear com coeficientes constantes. A solução geral é:
Onde e são constantes.

Passo 8

Da mesma forma, resolvemos para G(y) = C3 e^y + C4 e^-y :
A equação tem a mesma forma, então a solução geral é:
Onde e são constantes.

Passo 9

Agora, juntando as solu��ões de u(x, y) = (C1 e^x + C2 e^-x)(C3 e^y + C4 e^-y) e , a solução geral para na forma de produto é:

Resposta

As soluções da forma de produto para a EDP dada são combinações de funções exponenciais:
u(x, y) = (C1 e^x + C2 e^-x)(C3 e^y + C4 e^-y)
onde e são constantes.

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