Utilize separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções da forma de produto para cada EDP a seguir (Considere, quando necessário
).
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar separação de variáveis para achar soluções na forma de produto para a equação diferencial parcial dada:
Isso significa que vamos tentar expressar
como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais parciais e separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como:
Aqui,
é uma função que depende só de
e
depende só de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
De acordo com o enunciado, temos:
Substituindo
nas equações:
Passo 5
Vamos simplificar as equações dividindo cada uma por
(supondo que
):
Perceba que cada lado da igualdade depende apenas de uma variável. Isso só é possível se ambas forem iguais a uma constante, digamos
.
Passo 6
Então, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Para
:
E para
:
Passo 7
Vamos resolver a equação para
:
A equação diferencial
é uma equação linear com coeficientes constantes. A solução geral é:
Onde
e
são constantes.
Passo 8
Da mesma forma, resolvemos para
:
A equação
tem a mesma forma, então a solução geral é:
Onde
e
são constantes.
Passo 9
Agora, juntando as solu��ões de
e
, a solução geral para
na forma de produto é:
Resposta
As soluções da forma de produto para a EDP dada são combinações de funções exponenciais:
onde
e
são constantes.