Utilize separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções da forma de produto para cada EDP a seguir (Considere, quando necessário ). .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar separação de variáveis para achar soluções na forma de produto para a equação diferencial parcial dada:
Isso significa que vamos tentar expressar como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais parciais e separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como:
Aqui, é uma função que depende só de e depende só de .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
De acordo com o enunciado, temos:
Substituindo nas equações:
Passo 5
Vamos simplificar as equações dividindo cada uma por (supondo que ):
Perceba que cada lado da igualdade depende apenas de uma variável. Isso só é possível se ambas forem iguais a uma constante, digamos .
Passo 6
Então, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Para :
E para :
Passo 7
Vamos resolver a equação para :
A equação diferencial é uma equação linear com coeficientes constantes. A solução geral é:
Onde e são constantes.
Passo 8
Da mesma forma, resolvemos para :
A equação tem a mesma forma, então a solução geral é:
Onde e são constantes.
Passo 9
Agora, juntando as solu��ões de e , a solução geral para na forma de produto é:
Resposta
As soluções da forma de produto para a EDP dada são combinações de funções exponenciais: