Utilize separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções da forma de produto para cada EDP a seguir (Considere, quando necessário k>0 ).
partial upartial x=partial upartial y;

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial parcial partial upartial x = partial upartial y utilizando o método de separação de variáveis. O objetivo é encontrar soluções que possam ser escritas como o produto de uma função de x e uma função de y, ou seja, u(x,y) = X(x)Y(y). Para isso, precisaremos aplicar conceitos de derivadas parciais e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como u(x,y) = X(x)Y(y). Vamos substituir essa forma na equação dada:
partial upartial x = X'(x)Y(y)
partial upartial y = X(x)Y'(y)
Substituindo na equação original:
X'(x)Y(y) = X(x)Y'(y)

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados da equação por X(x)Y(y):
X'(x)X(x) = Y'(y)Y(y)
Como o lado esquerdo depende apenas de x e o lado direito depende apenas de y, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de k. Assim, temos duas equações separadas:
X'(x)X(x) = k
Y'(y)Y(y) = k

Passo 4

Vamos resolver cada equação diferencial ordinária (EDO) separadamente. Primeiro, para X(x):
X'(x)X(x) = k implies X'(x) = kX(x)
A solução dessa EDO é:
X(x) = C1 e^kx
onde C1 é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos para Y(y):
Y'(y)Y(y) = k implies Y'(y) = kY(y)
A solução dessa EDO é:
Y(y) = C2 e^ky
onde C2 é outra constante de integração.

Passo 6

Finalmente, combinamos as soluções de X(x) e Y(y) para obter a solução geral da equação original:
u(x,y) = X(x)Y(y) = C1 e^kx cdot C2 e^ky = C e^k(x + y)
onde C = C1 cdot C2 é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução da equação partial upartial x = partial upartial y na forma de produto é:
u(x,y) = C e^k(x + y)
onde C é uma constante arbitrária e k é uma constante real positiva.

Exercícios relacionados

Classifique cada uma das EDP partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y partial x+partial^2 upartial y^2=0;
Nos problemas de 21 a 24 , determine se a integral dada converge ou diverge.
22. integral0^infty t e^-t d t
Classifique cada uma das EDP partial^2 upartial x^2+2 partial^2 upartial y partial x+partial^2 upartial y^2+partial upartial x-partial upartial y=0;
arctan((2y-2)/(x-2)) = ln(|(x-2)² + 4(y-1)²|) + c