Utilize separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções da forma de produto para cada EDP a seguir (Considere, quando necessário
).
;
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial parcial
utilizando o método de separação de variáveis. O objetivo é encontrar soluções que possam ser escritas como o produto de uma função de
e uma função de
, ou seja,
. Para isso, precisaremos aplicar conceitos de derivadas parciais e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como
. Vamos substituir essa forma na equação dada:
Substituindo na equação original:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados da equação por
:
Como o lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito depende apenas de
, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de
. Assim, temos duas equações separadas:
Passo 4
Vamos resolver cada equação diferencial ordinária (EDO) separadamente. Primeiro, para
:
A solução dessa EDO é:
onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
A solução dessa EDO é:
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Finalmente, combinamos as soluções de
e
para obter a solução geral da equação original:
onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução da equação
na forma de produto é:
onde
é uma constante arbitrária e
é uma constante real positiva.
Exercícios relacionados
Classifique cada uma das EDP
;
Nos problemas de 21 a 24 , determine se a integral dada converge ou diverge.
22.
22.
Classifique cada uma das EDP
;