Se f(x, y, z)=arctg(y+kraiz2 x)-ln (x^2+2 x1-x^2)+raiz3 x^2-7 y+z^2x^2+y^3.
(a) Use a definição para calcular partial fpartial z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis:
f(x, y, z) = arctg(y + kraiz2x) - ln(x^2 + 2x1 - x^2) + raiz3x^2 - 7y + z^2x^2 + y^3
A questão pede para calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem arctangente, logaritmo e raiz quadrada, mas observando que apenas a última parte da função depende de .

Passo 2

Vamos identificar quais termos da função dependem de . Observando a função:
  1. não depende de .
  2. também não depende de .
  3. é o único termo que envolve .
Portanto, só precisamos derivar esse último termo em relação a .

Passo 3

Vamos chamar a parte dentro da raiz de A = 3x^2 - 7y + z^2x^2 + y^3 :
raizA
Então, temos:
partial Apartial z = 2zx^2 + y^3
Para derivar partialpartial z raizA = 12raizA cdot 2zx^2 + y^3 em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é:
Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Simplificando a expressão:
12raizA cdot 2zx^2 + y^3 = zraizA cdot (x^2 + y^3)
Substituindo zraiz3x^2 - 7y + z^2x^2 + y^3 cdot (x^2 + y^3) de volta:
raiz3x^2 - 7y + z^2x^2 + y^3 = raiz3x^2 - 7y + z^2raizx^2 + y^3
Podemos simplificar a raiz dividindo:
zraiz3x^2 - 7y + z^2raizx^2 + y^3 cdot (x^2 + y^3)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Simplificando ainda mais:
zraiz3x^2 - 7y + z^2 cdot raizx^2 + y^3 cdot raizx^2 + y^3raizx^2 + y^3 = zraiz3x^2 - 7y + z^2
Pois no numerador e denominador se cancelam.

Resposta

A derivada parcial de partial fpartial z = zraiz3x^2 - 7y + z^2 em relação a é:

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