Se
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(a) Use a definição para calcular
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(a) Use a definição para calcular
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis:
A questão pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem arctangente, logaritmo e raiz quadrada, mas observando que apenas a última parte da função depende de
.
Passo 2
Vamos identificar quais termos da função dependem de
. Observando a função:
-
não depende de . -
também não depende de . -
é o único termo que envolve .
Portanto, só precisamos derivar esse último termo em relação a
.
Passo 3
Vamos chamar a parte dentro da raiz de
:
Então, temos:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é:
Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Substituindo
de volta:
Podemos simplificar a raiz dividindo:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Simplificando ainda mais:
Pois
no numerador e denominador se cancelam.
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é: