A relação entre a frequência de ressonância , de um circuito LC, sua indutância L e sua capacitância C é dada por: Calcule aproximadamente o máximo erro possível no cálculo de se as medidas de indutância e capacitância forem sujeitas a erros máximos de e . Determine também o erro relativo possível e o erro percentual aproximado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que relaciona a frequência de ressonância de um circuito LC com sua indutância e capacitância :
Nosso objetivo aqui é calcular o máximo erro possível no cálculo de considerando que as medidas de e têm erros máximos de 1% e 2%, respectivamente. Além disso, vamos determinar o erro relativo e o erro percentual aproximado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o erro máximo nos componentes e . Se tem um erro máximo de 1%, isso quer dizer que a incerteza na medida de é de . Da mesma forma, para , o erro máximo é .
Passo 3
Agora, para encontrar o erro máximo em , precisamos utilizar a regra de propagação de erros para funções que dependem de múltiplas variáveis. A regra geral para uma função é:
Mas como estamos trabalhando com erros percentuais pequenos, podemos simplificar usando a seguinte aproximação:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Primeiro, expressamos em termos de logaritmos:
Assim,
e
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula de propagação de erros, temos:
Ou seja, .
Passo 6
Agora, para encontrar o erro percentual, multiplicamos o erro relativo por 100:
Resposta
O máximo erro possível no cálculo de é , com um erro relativo de e um erro percentual aproximado de .