Use a definição para calcular se .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada parcial de em relação a . A função dada é . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que nos ajuda a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial de em relação a , denotada por , mede a taxa de variação de quando apenas muda, mantendo fixo. A definição matemática dela é:

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, calculamos :

Passo 4

Agora, substituímos e na definição da derivada parcial:

Passo 5

Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum para os termos dentro do limite:

Passo 6

Expandindo os numeradores:

Passo 7

Simplificando os termos semelhantes:

Passo 8

Factorando no numerador:

Passo 9

Cancelando no numerador e denominador:

Passo 10

Agora, aplicamos o limite :

Passo 11

Simplificando o numerador:

Resposta

Portanto, a derivada parcial de em relação a é:

Exercícios relacionados

Resol ver usando o método da variação dos parâmetros:
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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