Use a definição para calcular partial fpartial y se f(x, y)=x+2 yx^2-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada parcial de em relação a . A função dada é . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que nos ajuda a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial de partial fpartial y = limDe em relação a , denotada por , mede a taxa de variação de quando apenas muda, mantendo fixo. A definição matemática dela é:

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função f(x, y + De. Primeiro, calculamos :

Passo 4

Agora, substituímos partial fpartial y = limDe e na definição da derivada parcial:

Passo 5

Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum para os termos dentro do limite:
partial fpartial y = limDe

Passo 6

Expandindo os numeradores:
= limDe

Passo 7

Simplificando os termos semelhantes:
= limDe

Passo 8

Factorando = limDe no numerador:

Passo 9

Cancelando = limDe no numerador e denominador:

Passo 10

Agora, aplicamos o limite partial fpartial y = 2(x^2 - y) + (x + 2y)(x^2 - y)^2 :

Passo 11

Simplificando o numerador:
2(x^2 - y) + x + 2y = 2x^2 - 2y + x + 2y = 2x^2 + x

Resposta

Portanto, a derivada parcial de partial fpartial y = 2x^2 + x(x^2 - y)^2 em relação a é:

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