Use a definição para calcular
se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada parcial de
em relação a
. A função dada é
. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que nos ajuda a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, mede a taxa de variação de
quando apenas
muda, mantendo
fixo. A definição matemática dela é:
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na definição da derivada parcial:
Passo 5
Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum para os termos dentro do limite:
Passo 6
Expandindo os numeradores:
Passo 7
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 8
Factorando
no numerador:
Passo 9
Cancelando
no numerador e denominador:
Passo 10
Agora, aplicamos o limite
:
Passo 11
Simplificando o numerador:
Resposta
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Resol ver usando o método da variação dos parâmetros:
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;